Номер 29, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Из одного пункта выехали два велосипедиста со скоростями 15 и 20 км/ч. Через час из этого же пункта выехал автобус, который обогнал первого велосипедиста и через 10 мин догнал второго. Найдите скорость автобуса.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса, $t$ ч он ехал до встречи с первым велосипедистом. Тогда автобус до встречи проделал

путь, равный .................... км, а первый велосипедист .................... км. Так как автобус и первый велосипедист проехали до встречи одинаковое расстояние, то

.................... (1)

Так как через 10 мин после встречи с первым велосипедистом автобус догнал второго, то автобус до встречи со вторым велосипедистом проделал путь, равный .................... км, а второй велосипедист .................... км. Так как автобус и второй велосипедист проехали до встречи одинаковое расстояние, то

.................... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

....................

....................

....................

Следовательно, скорость автобуса равна .................... км/ч.

Ответ: ....................

Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса, а $t$ ч — время, которое он ехал до встречи с первым велосипедистом. Тогда автобус до встречи проделал путь, равный $xt$ км, а первый велосипедист, который был в пути $(1+t)$ ч, проделал путь $15(1+t)$ км. Так как автобус и первый велосипедист проехали до встречи одинаковое расстояние, то получаем первое уравнение:

$xt = 15(1+t)$ (1)

Через 10 мин ($\frac{1}{6}$ ч) после встречи с первым велосипедистом автобус догнал второго. Это значит, что общее время движения автобуса до встречи со вторым велосипедистом составило $(t + \frac{1}{6})$ ч, и за это время он проделал путь, равный $x(t + \frac{1}{6})$ км. Второй велосипедист к этому моменту был в пути $(1 + t + \frac{1}{6}) = (t + \frac{7}{6})$ ч и проделал путь $20(t + \frac{7}{6})$ км. Так как они проехали одинаковое расстояние, получаем второе уравнение:

$x(t + \frac{1}{6}) = 20(t + \frac{7}{6})$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$\begin{cases} xt = 15(1+t) \\ x(t + \frac{1}{6}) = 20(t + \frac{7}{6}) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = \frac{15(1+t)}{t}$ и подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{15(1+t)}{t} \cdot (t + \frac{1}{6}) = 20(t + \frac{7}{6})$

Умножим обе части уравнения на $6t$, чтобы избавиться от знаменателей (учитывая, что $t>0$):

$15(1+t)(6t+1) = 20t(6t+7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15(6t^2 + 7t + 1) = 120t^2 + 140t$

$90t^2 + 105t + 15 = 120t^2 + 140t$

$30t^2 + 35t - 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$6t^2 + 7t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$

$t = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 11}{12}$

Так как время $t$ не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

$t = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость автобуса $x$, подставив значение $t$ в выражение, полученное из первого уравнения:

$x = \frac{15(1+t)}{t} = \frac{15(1 + 1/3)}{1/3} = \frac{15 \cdot (4/3)}{1/3} = 15 \cdot 4 = 60$.

Следовательно, скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: 60.