Номер 22, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

22. Решите уравнение, вводя новую переменную:

a) $(x^2 + 2x)^2 - 18x^2 - 36x + 45 = 0;$

б) $x + \sqrt{x} - 20 = 0.$

а) Дано уравнение $(x^2 + 2x)^2 - 18x^2 - 36x + 45 = 0$.

Заметим, что $-18x^2 - 36x$ можно преобразовать, вынеся за скобки общий множитель $-18$: $-18(x^2 + 2x)$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45 = 0$.

Это уравнение можно упростить, введя новую переменную. Пусть $t = x^2 + 2x$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 18t + 45 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно 45, а их сумма равна 18. Корни легко подбираются: $t_1 = 15$ и $t_2 = 3$.

В качестве альтернативы, найдем корни через дискриминант:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 = 12^2$.

$t_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}$.

$t_1 = \frac{18 + 12}{2} = 15$.

$t_2 = \frac{18 - 12}{2} = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. При $t = 15$:

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_1 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$.

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$.

2. При $t = 3$:

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $D_2 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.

$x_3 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.

$x_4 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.

Таким образом, мы получили четыре корня.

Ответ: $-5; -3; 1; 3$.

б) Дано уравнение $x + \sqrt{x} - 20 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Заменим в исходном уравнении $x$ на $t^2$ и $\sqrt{x}$ на $t$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - 20 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -20, а их сумма равна -1. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.

$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 4$:

$\sqrt{x} = 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 4^2 = 16$.

Найденное значение $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).

Ответ: $16$.