Номер 20, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

20. Решите уравнение $7+10+13+...+x=140.$

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Числа 7, 10, 13, ...., x образуют арифметическую про- грессию $(a_n)$, в которой $a_1 = 7, d = ............., a_n = x$. Тогда

$n = ............$

Известно, что $S_n = \frac{a_1+a_n}{2}n$. Составим и решим уравнение: ...................

Ответ: ...................

Решение.

Сумма $7 + 10 + 13 + ... + x = 140$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии ($a_n$).

Для этой прогрессии известны:

• первый член $a_1 = 7$;
• второй член $a_2 = 10$;
• последний член $a_n = x$;
• сумма первых $n$ членов $S_n = 140$.

1. Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 10 - 7 = 3$.

2. Выразим количество членов прогрессии $n$ через $x$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$x = 7 + (n-1) \cdot 3$

$x = 7 + 3n - 3$

$x = 4 + 3n$

Отсюда выражаем $n$:

$3n = x - 4$

$n = \frac{x - 4}{3}$

3. Составим уравнение, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставим в нее известные значения и полученное выражение для $n$:

$140 = \frac{7 + x}{2} \cdot \frac{x-4}{3}$

4. Решим полученное уравнение относительно $x$:

$140 = \frac{(x+7)(x-4)}{6}$

Умножим обе части уравнения на 6:

$840 = (x+7)(x-4)$

Раскроем скобки:

$840 = x^2 - 4x + 7x - 28$

$840 = x^2 + 3x - 28$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 28 - 840 = 0$

$x^2 + 3x - 868 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-868) = 9 + 3472 = 3481$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3481} = 59$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 59}{2} = \frac{56}{2} = 28$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 59}{2} = \frac{-62}{2} = -31$

5. Проанализируем полученные корни. Поскольку разность прогрессии $d=3$ положительна, прогрессия является возрастающей. Первый член $a_1=7$, значит, все последующие члены должны быть больше 7. Корень $x = -31$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, он является посторонним решением.

Единственное подходящее решение - это $x=28$.

Ответ: 28.