Номер 23, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

23. Решите уравнение:

a) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

б) $y^4 - 6y^2 + 5 = 0$

в) $x^4 + 17x^2 + 16 = 0$

г) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Ответ:

a) б) в) г)

а) Уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ является биквадратным.
Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 5$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 4$. Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1) Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Корнями этого уравнения являются $x = \pm 1$.
2) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = \pm 2$.
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

б) Уравнение $y^4 - 6y^2 + 5 = 0$ является биквадратным.
Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 - 6t + 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 6$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 5$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Оба корня положительны, значит, удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $y$:
1) $y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
2) $y^2 = 5 \implies y = \pm \sqrt{5}$.
Исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{5}; -1; 1; \sqrt{5}$.

в) Уравнение $x^4 + 17x^2 + 16 = 0$ является биквадратным.
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 + 17t + 16 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-17 - 15}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.
$t_2 = \frac{-17 + 15}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Оба полученных значения для $t$ отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$.
Следовательно, уравнения $x^2 = -16$ и $x^2 = -1$ не имеют действительных корней.
Ответ: корней нет.

г) Уравнение $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ является биквадратным.
Выполним замену переменной. Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Проверим соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = -1$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$t_2 = 4$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену для $t=4$:
$x^2 = 4$.
Отсюда $x = \pm 2$.
Ответ: $-2; 2$.