Номер 21, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

21. Найдите корни уравнения:

а) $25x^2 = 4x^4$;

б) $y^3 + 5y^2 - 6y = 0$;

в) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$;

г) $x^3 + 6x^2 = 9x + 54$.

......................

......................

......................

......................

......................

......................

Ответ:

а) ...................

б) ...................

в) ...................

г) ...................

а) $25x^2 = 4x^4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$4x^4 - 25x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(4x^2 - 25) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда получаем корень $x_1 = 0$.

2) $4x^2 - 25 = 0$. Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(2x)^2 - 5^2 = 0$.

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

Отсюда находим еще два корня:

$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$

$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x_3 = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5; 0; 2.5$.

б) $y^3 + 5y^2 - 6y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 + 5y - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $y_1 = 0$.

2) $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$

$y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_3 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $-6; 0; 1$.

в) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$.

2) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

Ответ: $-2; 2; 3$.

г) $x^3 + 6x^2 = 9x + 54$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 + 6x^2) + (-9x - 54) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 6) - 9(x + 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$.

2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-6; -3; 3$.