Страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. К некоторому количеству раствора, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, в результате чего процентное содержание соли в растворе понизилось на 10%. Сколько воды содержал раствор и каково было процентное содержание соли в нём?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

Составим и решим уравнение:

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

Пусть $x$ г — это масса воды, которая изначально содержалась в растворе. Масса соли по условию составляет 40 г. Таким образом, первоначальная масса всего раствора была $(40 + x)$ г.

Процентное содержание соли в первоначальном растворе равно $\frac{40}{40 + x} \cdot 100\%$.

После добавления 200 г воды, общая масса раствора увеличилась и стала $(40 + x + 200) = (x + 240)$ г. Масса соли при этом осталась неизменной. Новое процентное содержание соли в растворе стало равно $\frac{40}{x + 240} \cdot 100\%$.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Составим и решим уравнение:

Согласно условию, процентное содержание соли понизилось на 10%. Это значит, что разница между первоначальной и конечной концентрацией равна 10.

$\frac{40}{40 + x} \cdot 100 - \frac{40}{x + 240} \cdot 100 = 10$

Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения:

$\frac{400}{40 + x} - \frac{400}{x + 240} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(40 + x)(x + 240)$:

$\frac{400(x + 240) - 400(40 + x)}{(40 + x)(x + 240)} = 1$

Раскроем скобки в числителе: $400x + 96000 - 16000 - 400x = 80000$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{80000}{(40 + x)(x + 240)} = 1$

Отсюда следует, что знаменатель равен числителю:

$(40 + x)(x + 240) = 80000$

Раскроем скобки в левой части:

$40x + 9600 + x^2 + 240x = 80000$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 280x + 9600 - 80000 = 0$

$x^2 + 280x - 70400 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 280^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70400) = 78400 + 281600 = 360000$

$\sqrt{D} = \sqrt{360000} = 600$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-280 + 600}{2} = \frac{320}{2} = 160$

$x_2 = \frac{-280 - 600}{2} = \frac{-880}{2} = -440$

Поскольку масса воды ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -440$ не является решением задачи. Таким образом, мы нашли ответ на первый вопрос.

Сколько воды содержал раствор

Начальное количество воды в растворе, найденное из уравнения, составляет 160 г.

Ответ: 160 г.

каково было процентное содержание соли в нём

Первоначальная масса раствора равна сумме масс соли и воды: $40 \text{ г} + 160 \text{ г} = 200 \text{ г}$.

Процентное содержание соли в первоначальном растворе вычисляется по формуле: $C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\% = \frac{40}{200} \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

20. Решите уравнение $7+10+13+...+x=140.$

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Числа 7, 10, 13, ...., x образуют арифметическую про- грессию $(a_n)$, в которой $a_1 = 7, d = ............., a_n = x$. Тогда

$n = ............$

Известно, что $S_n = \frac{a_1+a_n}{2}n$. Составим и решим уравнение: ...................

Ответ: ...................

Решение.

Сумма $7 + 10 + 13 + ... + x = 140$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии ($a_n$).

Для этой прогрессии известны:

• первый член $a_1 = 7$;
• второй член $a_2 = 10$;
• последний член $a_n = x$;
• сумма первых $n$ членов $S_n = 140$.

1. Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 10 - 7 = 3$.

2. Выразим количество членов прогрессии $n$ через $x$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$x = 7 + (n-1) \cdot 3$

$x = 7 + 3n - 3$

$x = 4 + 3n$

Отсюда выражаем $n$:

$3n = x - 4$

$n = \frac{x - 4}{3}$

3. Составим уравнение, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставим в нее известные значения и полученное выражение для $n$:

$140 = \frac{7 + x}{2} \cdot \frac{x-4}{3}$

4. Решим полученное уравнение относительно $x$:

$140 = \frac{(x+7)(x-4)}{6}$

Умножим обе части уравнения на 6:

$840 = (x+7)(x-4)$

Раскроем скобки:

$840 = x^2 - 4x + 7x - 28$

$840 = x^2 + 3x - 28$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 28 - 840 = 0$

$x^2 + 3x - 868 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-868) = 9 + 3472 = 3481$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3481} = 59$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 59}{2} = \frac{56}{2} = 28$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 59}{2} = \frac{-62}{2} = -31$

5. Проанализируем полученные корни. Поскольку разность прогрессии $d=3$ положительна, прогрессия является возрастающей. Первый член $a_1=7$, значит, все последующие члены должны быть больше 7. Корень $x = -31$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, он является посторонним решением.

Единственное подходящее решение - это $x=28$.

Ответ: 28.

21. Найдите корни уравнения:

а) $25x^2 = 4x^4$;

б) $y^3 + 5y^2 - 6y = 0$;

в) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$;

г) $x^3 + 6x^2 = 9x + 54$.

......................

......................

......................

......................

......................

......................

Ответ:

а) ...................

б) ...................

в) ...................

г) ...................

а) $25x^2 = 4x^4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$4x^4 - 25x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(4x^2 - 25) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1) $x^2 = 0$, откуда получаем корень $x_1 = 0$.

2) $4x^2 - 25 = 0$. Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(2x)^2 - 5^2 = 0$.

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

Отсюда находим еще два корня:

$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$

$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x_3 = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5; 0; 2.5$.

б) $y^3 + 5y^2 - 6y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 + 5y - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $y_1 = 0$.

2) $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$

$y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_3 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $-6; 0; 1$.

в) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод группировки:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$.

2) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

Ответ: $-2; 2; 3$.

г) $x^3 + 6x^2 = 9x + 54$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 + 6x^2) + (-9x - 54) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 6) - 9(x + 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$.

2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-6; -3; 3$.