Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Найдите область определения функции:

a) $y=\frac{\sqrt{15x^2+x-2}}{x-8}$

б) $y=\frac{\sqrt{x^2-36}}{2x+14}$

a)

б)

а) $y = \frac{\sqrt{15x^2 + x - 2}}{x - 8}$

Область определения функции (ОДЗ) задается двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $15x^2 + x - 2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 8 \neq 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 15x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x - 8 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим квадратное неравенство $15x^2 + x - 2 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $15x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 15} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Так как ветви параболы $y = 15x^2 + x - 2$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $15x^2 + x - 2 \ge 0$ выполняется при $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2/5] \cup [1/3; +\infty)$.

2. Решим второе условие: $x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8$.

3. Объединим результаты. Необходимо из множества $(-\infty; -2/5] \cup [1/3; +\infty)$ исключить точку $x=8$. Точка 8 принадлежит промежутку $[1/3; +\infty)$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -2/5] \cup [1/3; 8) \cup (8; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2/5] \cup [1/3; 8) \cup (8; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{2x + 14}$

Область определения функции (ОДЗ) задается двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2x + 14 \neq 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ 2x + 14 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $x^2 - 36 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-6)(x+6) \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 36 = 0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.
Методом интервалов (или анализируя параболу $y=x^2-36$) находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.

2. Решим второе условие: $2x + 14 \neq 0$.

$2x \neq -14$
$x \neq -7$

3. Объединим результаты. Необходимо из множества $(-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$ исключить точку $x=-7$. Точка -7 принадлежит промежутку $(-\infty; -6]$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; -6] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (-7; -6] \cup [6; +\infty)$.

10. При каких значениях t верно неравенство:

a) $0,5t^2 \le 81t$;

б) $\frac{t^2}{5t + 20} > 0?$

a) Решим неравенство $0,5t^2 \le 81t$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть:

$0,5t^2 - 81t \le 0$

Теперь вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(0,5t - 81) \le 0$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Для этого найдем корни уравнения $t(0,5t - 81) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$t_1 = 0$

или

$0,5t - 81 = 0$

$0,5t = 81$

$t_2 = \frac{81}{0,5} = 162$

Полученные корни $t=0$ и $t=162$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 162]$ и $[162; \infty)$.

Рассмотрим функцию $f(t) = 0,5t^2 - 81t$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $t^2$ положителен ($0,5 > 0$).

Это означает, что значения функции $f(t)$ будут неположительными (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[0; 162]$.

Ответ: $t \in [0; 162]$.

б) Решим неравенство $\frac{t^2}{5t+20} > 0$.

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $t$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$5t + 20 \neq 0 \implies 5t \neq -20 \implies t \neq -4$.

Теперь рассмотрим знак числителя и знаменателя. Числитель $t^2$ является неотрицательным при любом значении $t$. Он равен нулю при $t=0$ и строго положителен при $t \neq 0$.

Поскольку неравенство строгое ($>0$), то дробь должна быть положительной. Это возможно только тогда, когда и числитель, и знаменатель положительны (так как числитель не может быть отрицательным).

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} t^2 > 0 \\ 5t+20 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$t^2 > 0 \implies t \neq 0$.

Решим второе неравенство:

$5t + 20 > 0 \implies 5t > -20 \implies t > -4$.

Объединим оба условия: $t$ должно быть больше $-4$ и не равно нулю. На числовой оси это соответствует двум интервалам.

Ответ: $t \in (-4; 0) \cup (0; \infty)$.

27. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 20 км, выехал автобус, а через 6 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого на 10 км/ч больше скорости автобуса. Мотоциклист прибыл в пункт В на 4 мин раньше автобуса. Найдите скорости автобуса и мотоциклиста.

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса.

По условию задачи, время движения в пути автобуса на ................. мин = ................. ч меньше времени движения мотоциклиста. Следовательно, .................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

Ответ: ....................

Решение. Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса. Тогда скорость мотоциклиста равна $(x+10)$ км/ч. Заполним таблицу на основе данных задачи:

По условию задачи, мотоциклист выехал на 6 минут позже автобуса и приехал на 4 минуты раньше. Это означает, что время, затраченное мотоциклистом на путь, на $6 + 4 = 10$ минут меньше, чем время, затраченное автобусом. Переведем 10 минут в часы: $10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Следовательно, можем составить уравнение, приравняв разницу во времени движения:

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+10} = \frac{1}{6}$

Решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $6x(x+10)$, чтобы избавиться от дробей. ОДЗ: $x \ne 0$ и $x \ne -10$.

$6(x+10) \cdot 20 - 6x \cdot 20 = x(x+10)$

$120(x+10) - 120x = x^2 + 10x$

$120x + 1200 - 120x = x^2 + 10x$

$1200 = x^2 + 10x$

Получили квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 1200 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 70}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -40$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автобуса равна 30 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$x + 10 = 30 + 10 = 40$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 30 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.