Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

7. Решите неравенство:

$\frac{8t - 6}{t + 4} \le 3;$ $\frac{8t - 6}{t + 4} - 3 \le 0;$ $\frac{8t - 6 - 3t - 12}{t + 4} \le 0;$ $\frac{5t - 18}{t + 4} \le 0;$

$\begin{cases} (5t - 18)(t + 4) \le 0, \\ t + 4 \ne 0; \end{cases}$ $\begin{cases} 5(t - 3.6)(t + 4) \le 0, \\ t + 4 \ne 0; \end{cases}$ $\begin{cases} (t - 3.6)(t + 4) \le 0, \\ t \ne -4. \end{cases}$

Так как $t \ne -4$, то искомое множество решений: $(-4; 3.6]$.

а) $\frac{2t + 1}{t - 2} < 1;$

б) $\frac{t}{11 + t} \ge 2.$

a)

Исходное неравенство: $ \frac{2t+1}{t-2} < 1 $.
Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все его члены в одну сторону, чтобы справа остался ноль:
$ \frac{2t+1}{t-2} - 1 < 0 $
Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:
$ \frac{2t+1 - 1 \cdot (t-2)}{t-2} < 0 $
$ \frac{2t+1 - t + 2}{t-2} < 0 $
$ \frac{t+3}{t-2} < 0 $
Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
1. Нуль числителя: $ t+3=0 \Rightarrow t=-3 $.
2. Нуль знаменателя: $ t-2=0 \Rightarrow t=2 $. Эта точка не входит в область допустимых значений ($t \ne 2$).
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое ($ < 0 $), обе точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.
Точки $t=-3$ и $t=2$ разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty; -3) $, $ (-3; 2) $ и $ (2; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{t+3}{t-2} $ в каждом из интервалов:
- В интервале $ (2; +\infty) $, возьмем $t=3$: $ \frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6 > 0 $. Знак "+".
- В интервале $ (-3; 2) $, возьмем $t=0$: $ \frac{0+3}{0-2} = -\frac{3}{2} < 0 $. Знак "-".
- В интервале $ (-\infty; -3) $, возьмем $t=-4$: $ \frac{-4+3}{-4-2} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0 $. Знак "+".
Нас интересуют значения $t$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу со знаком "−".
Следовательно, решением неравенства является интервал $ (-3; 2) $.

Ответ: $ (-3; 2) $.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{t}{11+t} \ge 2 $.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$ \frac{t}{11+t} - 2 \ge 0 $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{t - 2(11+t)}{11+t} \ge 0 $
$ \frac{t - 22 - 2t}{11+t} \ge 0 $
$ \frac{-t - 22}{11+t} \ge 0 $
Чтобы упростить выражение, умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$ \frac{t+22}{11+t} \le 0 $
Решим это неравенство методом интервалов.
1. Нуль числителя: $ t+22=0 \Rightarrow t=-22 $. Так как неравенство нестрогое ($ \le 0 $), эта точка включается в решение.
2. Нуль знаменателя: $ 11+t=0 \Rightarrow t=-11 $. Эта точка не входит в область допустимых значений ($t \ne -11$) и всегда будет "выколотой".
Нанесем точки на числовую прямую. Точка $ t=-22 $ будет "закрашенной", а точка $ t=-11 $ — "выколотой".
Точки $t=-22$ и $t=-11$ разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty; -22] $, $ [-22; -11) $ и $ (-11; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{t+22}{11+t} $ в каждом из интервалов:
- В интервале $ (-11; +\infty) $, возьмем $t=0$: $ \frac{0+22}{0+11} = 2 > 0 $. Знак "+".
- В интервале $ (-22; -11) $, возьмем $t=-12$: $ \frac{-12+22}{-12+11} = \frac{10}{-1} = -10 < 0 $. Знак "-".
- В интервале $ (-\infty; -22) $, возьмем $t=-23$: $ \frac{-23+22}{-23+11} = \frac{-1}{-12} > 0 $. Знак "+".
Нас интересуют значения $t$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу со знаком "−", включая точку, где числитель равен нулю.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $ [-22; -11) $.

Ответ: $ [-22; -11) $.

8. Решая неравенство $ \frac{3x - 1}{4x + 2} \ge 0 $, ученик заменил его неравенством $ (3x - 1)(4x + 2) \ge 0 $, ссылаясь на то, что эти неравенства равносильны. Прав ли он? Ответ обоснуйте.

Прав ли он?

Нет, ученик не прав.

Ответ обоснуйте.

Утверждение ученика о том, что неравенства $\frac{3x-1}{4x+2} \geq 0$ и $(3x-1)(4x+2) \geq 0$ равносильны, является ошибочным. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. В данном случае это условие не выполняется, что мы и докажем, решив оба неравенства.

Решение неравенства $\frac{3x-1}{4x+2} \geq 0$
Это дробно-рациональное неравенство. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $4x + 2 \neq 0$, что означает $x \neq -0.5$.
Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое.
Нуль знаменателя: $4x + 2 = 0 \implies x = -0.5$. Эта точка не является решением, так как не входит в ОДЗ.
Нанесем точки на числовую ось, учитывая, что $x = \frac{1}{3}$ — закрашенная, а $x = -0.5$ — выколотая. Определяем знаки выражения на интервалах: $(-\infty; -0.5): +$; $(-0.5; \frac{1}{3}): -$; $(\frac{1}{3}; +\infty): +$.
Выбирая промежутки, где выражение неотрицательно, получаем решение: $x \in (-\infty; -0.5) \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

Решение неравенства $(3x-1)(4x+2) \geq 0$
Это неравенство определено для всех действительных чисел $x$. Нули выражения те же: $x = \frac{1}{3}$ и $x = -0.5$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq 0$), обе точки являются решениями.
Знаки на интервалах распределяются так же, как и в первом случае.
Выбирая промежутки, где выражение неотрицательно, получаем решение: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

Сравнение и вывод
Множество решений первого неравенства: $S_1 = (-\infty; -0.5) \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства: $S_2 = (-\infty; -0.5] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.
Множества решений $S_1$ и $S_2$ не совпадают. Разница заключается в точке $x = -0.5$. Это значение является решением второго неравенства (так как $(3(-0.5)-1)(4(-0.5)+2) = (-2.5)(0) = 0$, что удовлетворяет условию $\geq 0$), но не входит в область определения первого неравенства.
Следовательно, замена была некорректной. Равносильным для неравенства $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ является система $\begin{cases} f(x) \cdot g(x) \geq 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}$. Ученик упустил второе условие системы.

Ответ: Ученик не прав. Неравенства не являются равносильными, потому что их множества решений не совпадают. В частности, $x = -0.5$ является решением неравенства $(3x-1)(4x+2) \geq 0$, но не является решением неравенства $\frac{3x-1}{4x+2} \geq 0$ из-за того, что в этой точке знаменатель обращается в ноль.