Страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

13. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $\frac{x^4 - 3x^3 - 8x + 24}{6-x} > 0.$

Для решения данного неравенства $\frac{x^4 - 3x^3 - 8x + 24}{6 - x} > 0$ необходимо найти нули числителя и знаменателя, а затем использовать метод интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $6 - x \neq 0$ $x \neq 6$

2. Найдем нули числителя.
Приравняем числитель к нулю: $x^4 - 3x^3 - 8x + 24 = 0$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $(x^4 - 3x^3) - (8x - 24) = 0$ $x^3(x - 3) - 8(x - 3) = 0$ $(x - 3)(x^3 - 8) = 0$ Разложим второй множитель как разность кубов ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$): $(x - 3)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ Найдем корни этого уравнения: $x - 3 = 0 \implies x = 3$ $x - 2 = 0 \implies x = 2$ Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 4 = 0$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$ Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

3. Упростим исходное неравенство.
Заменим числитель на его разложение на множители: $\frac{(x - 2)(x - 3)(x^2 + 2x + 4)}{6 - x} > 0$ Поскольку множитель $(x^2 + 2x + 4)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{6 - x} > 0$ Для удобства решения методом интервалов умножим обе части неравенства на -1, чтобы в знаменателе переменная $x$ была с положительным коэффициентом. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{-(x - 6)} > 0$ $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 6} < 0$

4. Решим неравенство методом интервалов.
Отметим на числовой оси нули числителя ($x=2$, $x=3$) и нуль знаменателя ($x=6$). Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 6}$ на каждом из интервалов:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$
• При $3 < x < 6$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(-)} = -$
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} = +$
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = -$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Решением неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; 6)$.

5. Найдем наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству.
Целые числа, входящие в полученные интервалы:
Из интервала $(-\infty; 2)$: ..., -2, -1, 0, 1.
Из интервала $(3; 6)$: 4, 5.
Наибольшим целым числом из всего множества решений является 5.

Ответ: 5.

14. Найдите, при каких значениях x значения дроби $ \frac{6x-1}{4x+3} $ при надлежат промежутку $[1; 8]$.

Решение. Решим двойное неравенство:

Представим его в виде системы неравенств:

$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{6x-1}{4x+3} - 1 \ge 0 \\ & \frac{6x-1}{4x+3} - 8 \le 0 \\ & \\ & \frac{2x-4}{4x+3} \ge 0 \\ & \frac{26x+25}{4x+3} \ge 0 \end{aligned} \right. $

Решим каждое из неравенств:

Найдём пересечение полученных множеств:

Ответ:

Решим двойное неравенство:

Заданное условие означает, что значение дроби должно удовлетворять двойному неравенству:

$1 \le \frac{6x - 1}{4x + 3} \le 8$

Представим его в виде системы неравенств:

Двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} \frac{6x - 1}{4x + 3} \ge 1, \\ \frac{6x - 1}{4x + 3} \le 8. \end{cases}$

Решим каждое из неравенств:

1) Решаем первое неравенство системы:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} \ge 1$

Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} - 1 \ge 0$

$\frac{6x - 1 - (4x + 3)}{4x + 3} \ge 0$

$\frac{2x - 4}{4x + 3} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка является решением, т.к. неравенство нестрогое)

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$ (точка не является решением, т.к. знаменатель не может быть равен нулю)

Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки выражения в интервалах. Нам нужны интервалы со знаком "+".

Решением первого неравенства является множество: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup [2; +\infty)$.

2) Решаем второе неравенство системы:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} \le 8$

Переносим 8 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} - 8 \le 0$

$\frac{6x - 1 - 8(4x + 3)}{4x + 3} \le 0$

$\frac{6x - 1 - 32x - 24}{4x + 3} \le 0$

$\frac{-26x - 25}{4x + 3} \le 0$

Умножим дробь на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{26x + 25}{4x + 3} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$26x + 25 = 0 \Rightarrow x = -\frac{25}{26}$ (точка является решением)

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$ (точка не является решением)

Отмечаем точки на числовой оси (учитывая, что $-\frac{25}{26} < -\frac{3}{4}$) и определяем знаки. Нам нужны интервалы со знаком "+".

Решением второго неравенства является множество: $x \in (-\infty; -\frac{25}{26}] \cup (-\frac{3}{4}; +\infty)$.

Найдём пересечение полученных множеств:

Нам нужно найти общие решения для обоих неравенств, то есть пересечение множеств:

$((-\infty; -\frac{3}{4}) \cup [2; +\infty)) \cap ((-\infty; -\frac{25}{26}] \cup (-\frac{3}{4}; +\infty))$

Изобразим решения на числовой оси.

Первое решение: $(-\infty; -0.75) \cup [2; +\infty)$

Второе решение: $(-\infty; -0.96...] \cup (-0.75; +\infty)$

Пересекая эти множества, получаем:

- Общая часть на левом участке: $(-\infty; -\frac{25}{26}]$

- Общая часть на правом участке: $[2; +\infty)$

Итоговое решение системы — это объединение этих участков.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{25}{26}] \cup [2; +\infty)$.

35. Дана несократимая дробь. Если к числителю этой дроби прибавить 2, а знаменатель дроби удвоить, то значение дроби не изменится. Если из знаменателя дроби вычесть числитель, то дробь станет целым числом. Найдите эту дробь.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть $x$ — числитель искомой дроби, а $y$ — её знаменатель. Тогда сама дробь будет равна $\frac{x}{y}$. По условию задачи, к числителю этой дроби прибавили 2, а знаменатель дроби удвоили, при этом она стала $\frac{x+2}{2y}$, а её значение не изменилось. Следовательно, $\frac{x}{y} = \frac{x+2}{2y}$ (1)

Если из знаменателя дроби вычесть числитель, то дробь станет целым числом, следовательно, $\frac{x}{y-x} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Из (1) получаем:

$\frac{x}{y} = \frac{x+2}{2y}$

$2xy = y(x+2)$ (умножим обе части на $2y$)

$2x = x+2$ (так как $y \neq 0$)

$x = 2$

Подставим $x=2$ в условие (2):

$\frac{2}{y-2} = k$

Так как $k$ — целое число, то $y-2$ должно быть делителем числа 2.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа и дробь $\frac{x}{y}$ обычно подразумевает $y>x$, то $y-2 > 0$.

Следовательно, $y-2$ может быть 1 или 2.

Если $y-2 = 1$, то $y=3$. Проверим дробь $\frac{2}{3}$. Она несократимая. Это решение подходит.

Если $y-2 = 2$, то $y=4$. Проверим дробь $\frac{2}{4}$. Она сократима до $\frac{1}{2}$. Не подходит, так как по условию дробь несократимая.

Таким образом, единственное решение: $x=2, y=3$.

Следовательно, $\frac{2}{3}$ — искомая дробь.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Решение. Пусть $x$ — числитель искомой дроби, а $y$ — её знаменатель. Тогда сама дробь будет равна $\frac{x}{y}$. По условию задачи, к числителю этой дроби прибавили 2, а знаменатель дроби удвоили, при этом она стала $\frac{x+2}{2y}$, а её значение не изменилось. Следовательно,

$\frac{x+2}{2y} = \frac{x}{y}$ (1)

Если из знаменателя дроби вычесть числитель, то дробь станет целым числом, следовательно,

$\frac{x}{y-x} = k$, где $k$ — целое число (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Сначала решим уравнение (1). Так как $y$ — знаменатель, то $y \neq 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $2y$:

$y(x+2) = 2yx$

Разделим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$x+2 = 2x$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x=2$ в условие (2):

$\frac{2}{y-2} = k$, где $k$ — целое число.

Это означает, что знаменатель $(y-2)$ должен быть целым делителем числителя, то есть числа 2. Целыми делителями числа 2 являются: $1, -1, 2, -2$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $y-2 = 1$, то $y = 3$. Дробь: $\frac{2}{3}$. Она несократимая. Проверим второе условие: $\frac{2}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$. Это целое число. Значит, этот вариант подходит.

2. Если $y-2 = -1$, то $y = 1$. Дробь: $\frac{2}{1}$. Она несократимая. Проверим второе условие: $\frac{2}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$. Это целое число. Этот вариант также подходит.

3. Если $y-2 = 2$, то $y = 4$. Дробь: $\frac{2}{4}$. Эта дробь является сократимой ($\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$), что противоречит начальному условию о несократимой дроби.

4. Если $y-2 = -2$, то $y = 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, у нас есть два решения: $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{1}$. Однако, формулировка "дробь станет целым числом" обычно подразумевает, что исходная дробь не была целым числом. Поэтому наиболее вероятным ответом является $\frac{2}{3}$.

Следовательно, искомая дробь — $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

36. Имеются два водных раствора кислоты разной концентрации объемами $4$ и $6$ л. Если их слить вместе, то получится 35 %-й раствор. Если слить вместе одинаковые объемы растворов, то получится 36 %-й раствор. Сколько литров чистой кислоты содержится в каждом из данных растворов?

Заполните таблицы и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $x$ и $y$ — концентрации данных растворов. Тогда

Было Всего, л Концентрация кислоты Чистой кислоты, л

1-й раствор $4$ $x$

2-й раствор $6$ $y$

Новый раствор $0,35$

Следовательно, .......................... (1)

Если слить вместе одинаковые объемы растворов, например, по $A$ л, то получится 36 %-й раствор.

Было Всего, л Концентрация кислоты Чистой кислоты, л

1-й раствор $A$ $x$

2-й раствор $A$ $y$

Новый раствор $0,36$

Следовательно, .......................... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим ее:

........................

........................

........................

........................

........................

........................

Следовательно, в первом растворе содержится .......... л чистой кислоты, во втором растворе .......... л чистой кислоты.

Ответ: .....................

Решение.

Пусть $x$ и $y$ — концентрации (в долях) первого и второго растворов соответственно. Заполним таблицы в соответствии с условиями задачи.

1. Смешиваем 4 л первого и 6 л второго раствора, получаем 35%-й раствор.

Следовательно, суммарное количество кислоты не изменилось, что даёт нам первое уравнение:

$4x + 6y = 3,5$ (1)

2. Смешиваем одинаковые объёмы (по A л) растворов, получаем 36%-й раствор.

Следовательно, получаем второе уравнение:

$Ax + Ay = 0,72A$

Поскольку $A \ne 0$, разделим обе части уравнения на A:

$x + y = 0,72$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} 4x + 6y = 3,5 \\ x + y = 0,72 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 0,72 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(0,72 - y) + 6y = 3,5$

$2,88 - 4y + 6y = 3,5$

$2y = 3,5 - 2,88$

$2y = 0,62$

$y = 0,31$

Теперь найдём $x$:

$x = 0,72 - 0,31 = 0,41$

Таким образом, концентрация первого раствора составляет 41%, а второго — 31%.

Теперь найдём, сколько литров чистой кислоты содержится в каждом из исходных растворов:

Следовательно, в первом растворе содержится $4 \text{ л} \cdot 0,41 = 1,64$ л чистой кислоты, во втором растворе — $6 \text{ л} \cdot 0,31 = 1,86$ л чистой кислоты.

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л чистой кислоты, а во втором — 1,86 л.