Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Верно ли, что:

a) неравенство $(x^2 + 13)(x - 3)(x + 4) > 0$ равносильно неравенству $(x - 3)(x + 4) > 0;$

б) неравенство $(x - 6)^2(2x - 3)(x + 8) > 0$ равносильно неравенству $(2x - 3)(x + 8) > 0?

Запишите ответ и обоснуйте его.

а)

Два неравенства называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Рассмотрим первое неравенство $(x^2 + 13)(x - 3)(x + 4) > 0$. Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$. Следовательно, множитель $(x^2 + 13)$ всегда положителен, так как $x^2 + 13 \ge 13 > 0$ для любого действительного значения $x$.

Поскольку множитель $(x^2 + 13)$ строго больше нуля при любом $x$, мы можем разделить обе части исходного неравенства на это выражение. Знак неравенства при этом не изменится, и такое преобразование является равносильным.

$\frac{(x^2 + 13)(x - 3)(x + 4)}{x^2 + 13} > \frac{0}{x^2 + 13}$

В результате получаем неравенство $(x - 3)(x + 4) > 0$.

Так как второе неравенство может быть получено из первого с помощью равносильного преобразования, множества их решений совпадают. Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: да, верно.

б)

Рассмотрим два неравенства: $(x - 6)^2(2x - 3)(x + 8) > 0$ и $(2x - 3)(x + 8) > 0$. Чтобы они были равносильны, их множества решений должны полностью совпадать.

Проанализируем множитель $(x - 6)^2$ в первом неравенстве. Так как это квадрат выражения, он всегда неотрицателен: $(x - 6)^2 \ge 0$. Этот множитель равен нулю при $x = 6$ и строго положителен при всех $x \ne 6$.

Первое неравенство является строгим ($> 0$), поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x=6$ не является решением первого неравенства, так как при $x=6$ левая часть обращается в ноль, и мы получаем $0 > 0$, что неверно. При любом $x \ne 6$ множитель $(x - 6)^2$ строго положителен, и мы можем разделить первое неравенство на него. В результате получим неравенство $(2x - 3)(x + 8) > 0$, которое должно выполняться при условии $x \ne 6$.

Таким образом, множество решений первого неравенства — это множество решений неравенства $(2x - 3)(x + 8) > 0$, из которого исключена точка $x=6$.

Теперь проверим, является ли $x=6$ решением второго неравенства $(2x - 3)(x + 8) > 0$. Подставим $x=6$: $(2 \cdot 6 - 3)(6 + 8) = (12 - 3)(14) = 9 \cdot 14 = 126$. Так как $126 > 0$, то $x=6$ является решением второго неравенства.

Поскольку $x=6$ является решением второго неравенства, но не является решением первого, множества решений этих двух неравенств не совпадают. Следовательно, неравенства не являются равносильными.

Ответ: нет, неверно.

10. Найдите множество решений неравенства:

a) $\frac{(p - 2)(p^2 + 11)(p^2 - 8p)}{2p - 14} < 0$;

б) $\frac{(6p + 1)(p^4 + 4)(p^2 - p)}{6p^2 - 24} > 0$.

а)

Решим неравенство: $$ \frac{(p - 2)(p^2 + 11)(p^2 - 8p)}{2p - 14} < 0 $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю. $2p - 14 \neq 0 \implies 2p \neq 14 \implies p \neq 7$.

2. Упростим неравенство. Выражение $p^2 + 11$ всегда положительно, так как $p^2 \ge 0$, а значит $p^2 + 11 \ge 11$. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, знак неравенства не изменится.

Разложим на множители числитель и знаменатель: $p^2 - 8p = p(p - 8)$
$2p - 14 = 2(p - 7)$

Неравенство принимает вид: $$ \frac{(p - 2)p(p - 8)}{2(p - 7)} < 0 $$ Умножим обе части на 2 (положительное число), знак неравенства не изменится: $$ \frac{p(p - 2)(p - 8)}{p - 7} < 0 $$

3. Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $p = 0$, $p = 2$, $p = 8$.
Нуль знаменателя: $p = 7$.

4. Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а точка $p=7$ также выколота из ОДЗ.

Ось разбивается на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 7)$, $(7; 8)$, $(8; +\infty)$.

5. Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение $\frac{p(p - 2)(p - 8)}{p - 7}$:

• При $p > 8$ (например, $p=9$): $\frac{9(7)(1)}{2} > 0$. Знак "+".
• При $7 < p < 8$ (например, $p=7.5$): $\frac{7.5(5.5)(-0.5)}{0.5} < 0$. Знак "−".
• При $2 < p < 7$ (например, $p=3$): $\frac{3(1)(-5)}{-4} > 0$. Знак "+".
• При $0 < p < 2$ (например, $p=1$): $\frac{1(-1)(-7)}{-6} < 0$. Знак "−".
• При $p < 0$ (например, $p=-1$): $\frac{-1(-3)(-9)}{-8} > 0$. Знак "+".

Знаки на интервалах чередуются: `+` | `−` | `+` | `−` | `+`.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−"). Это интервалы $(0; 2)$ и $(7; 8)$.

Ответ: $p \in (0; 2) \cup (7; 8)$.

б)

Решим неравенство: $$ \frac{(6p + 1)(p^4 + 4)(p^2 - p)}{6p^2 - 24} > 0 $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю. $6p^2 - 24 \neq 0 \implies 6(p^2 - 4) \neq 0 \implies p^2 \neq 4 \implies p \neq 2$ и $p \neq -2$.

2. Упростим неравенство. Выражение $p^4 + 4$ всегда положительно, так как $p^4 \ge 0$, а значит $p^4 + 4 \ge 4$. Разделим обе части неравенства на это положительное выражение, знак неравенства не изменится.

Разложим на множители оставшиеся части числителя и знаменатель: $p^2 - p = p(p - 1)$
$6p^2 - 24 = 6(p^2 - 4) = 6(p - 2)(p + 2)$

Неравенство принимает вид: $$ \frac{(6p + 1)p(p - 1)}{6(p - 2)(p + 2)} > 0 $$ Разделим обе части на 6 (положительное число), знак неравенства не изменится: $$ \frac{p(p - 1)(6p + 1)}{(p - 2)(p + 2)} > 0 $$

3. Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $p = 0$, $p = 1$, $6p + 1 = 0 \implies p = -1/6$.
Нули знаменателя: $p = 2$, $p = -2$.

4. Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-2, -1/6, 0, 1, 2$. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а точки $p=2$ и $p=-2$ также выколоты из ОДЗ.

Ось разбивается на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1/6)$, $(-1/6; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

5. Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение $\frac{p(p - 1)(6p + 1)}{(p - 2)(p + 2)}$:

• При $p > 2$ (например, $p=3$): $\frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $1 < p < 2$ (например, $p=1.5$): $\frac{(+)(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "−".
• При $0 < p < 1$ (например, $p=0.5$): $\frac{(+)(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-1/6 < p < 0$ (например, $p=-0.1$): $\frac{(-)(-)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "−".
• При $-2 < p < -1/6$ (например, $p=-1$): $\frac{(-)(-)(-)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $p < -2$ (например, $p=-3$): $\frac{(-)(-)(-)}{(-)(-)} < 0$. Знак "−".

Знаки на интервалах чередуются: `−` | `+` | `−` | `+` | `−` | `+`.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы $(-2; -1/6)$, $(0; 1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $p \in (-2; -1/6) \cup (0; 1) \cup (2; +\infty)$.

33. Если некоторое двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в остатке — 2. Найдите это число.

(1) Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть в искомом числе $x$ десятков и $y$ единиц, тогда это число можно записать $10x + y$. Так как при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 7, то

$10x + y = 7(x + y)$ (1)

Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в остатке — 2, следовательно,

$10x + y = 5xy + 2$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

...

...

...

...

...

...

Следовательно, в искомом числе ... десятка и ... единицы, а значит, ... — искомое число.

Ответ:

...

(1) Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Пусть в искомом числе $x$ десятков и $y$ единиц, тогда это число можно записать как $10x + y$. Поскольку число двузначное, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $y \in \{0, 1, ..., 9\}$. Так как в условии есть деление на произведение цифр, то ни одна из цифр не может быть равна нулю, значит $x, y \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Так как при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 7, то составляем первое уравнение:
$\frac{10x + y}{x + y} = 7$ (1)

Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в остатке — 2, следовательно, составляем второе уравнение:
$10x + y = 5 \cdot (x \cdot y) + 2$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Сначала преобразуем уравнение (1):
$10x + y = 7(x + y)$
$10x + y = 7x + 7y$
$3x = 6y$
$x = 2y$

Теперь подставим полученное выражение $x=2y$ в уравнение (2):
$10(2y) + y = 5(2y)y + 2$
$20y + y = 10y^2 + 2$
$21y = 10y^2 + 2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:
$10y^2 - 21y + 2 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 441 - 80 = 361 = 19^2$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 19}{2 \cdot 10}$
$y_1 = \frac{21 + 19}{20} = \frac{40}{20} = 2$
$y_2 = \frac{21 - 19}{20} = \frac{2}{20} = 0.1$

Так как $y$ — это цифра, она должна быть целым числом. Поэтому единственное подходящее решение — это $y=2$.

Теперь найдем $x$ из соотношения $x=2y$:
$x = 2 \cdot 2 = 4$

Следовательно, в искомом числе 4 десятка и 2 единицы, а значит, 42 — искомое число.

Проверка:
1) Сумма цифр: $4+2=6$. Деление: $42 \div 6 = 7$. Условие выполняется.
2) Произведение цифр: $4 \times 2 = 8$. Деление с остатком: $42 = 5 \times 8 + 2$. Условие выполняется.

Ответ: 42.