Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

8. Покажите с помощью стрелок, какая из указанных линий является графиком уравнения.

$y = x^2 - 4$

$y - 4 = x + 4$

$y^2 = 9 - x^2$

Ответ:

5. Постройте график уравнения

Окружность

Прямая

Парабола

$x^2 - y = 26$

$x^2 + y^2 = 25$

$x + y = 26$

Для того чтобы определить, какой график соответствует каждому уравнению, необходимо проанализировать вид каждого уравнения.

1. Уравнение $y = x^2 - 4$ является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции всегда является парабола.

2. Уравнение $y - 4 = x + 4$ можно преобразовать к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$. Для этого выразим $y$: $y = x + 4 + 4$, что дает $y = x + 8$. Это уравнение прямой.

3. Уравнение $y^2 = 9 - x^2$ можно преобразовать, перенеся $-x^2$ в левую часть: $x^2 + y^2 = 9$. Это каноническое уравнение окружности $x^2 + y^2 = r^2$ с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Графиком является окружность.

Ответ:
$y = x^2 - 4$ → Парабола
$y - 4 = x + 4$ → Прямая
$y^2 = 9 - x^2$ → Окружность

Аналогично проанализируем вторую группу уравнений, чтобы сопоставить их с типами графиков.

1. Уравнение $x^2 - y = 26$. Выразим $y$ через $x$: $y = x^2 - 26$. Это уравнение квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, которое задает параболу.

2. Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ уже представлено в каноническом виде уравнения окружности $x^2 + y^2 = r^2$ с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Его график — окружность.

3. Уравнение $x + y = 26$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить вид линейной функции $y = kx + b$: $y = -x + 26$. Это уравнение задает прямую линию.

Ответ:
$x^2 - y = 26$ → Парабола
$x^2 + y^2 = 25$ → Окружность
$x + y = 26$ → Прямая

9. Найдите все целые решения уравнения:

a) $xy=5$;

б) $x^2+y^2=16$.

.................

.................

.................

.................

.................

.................

.................

.................

Ответ: a) ......................

б) ......................

а) $xy = 5$;

Чтобы найти все целые решения уравнения, необходимо найти все пары целых чисел $x$ и $y$, произведение которых равно 5. Это означает, что $x$ и $y$ являются целыми делителями числа 5.
Целые делители числа 5 это: 1, 5, -1, -5.
Рассмотрим все возможные комбинации:
1. Если $x = 1$, то $y = 5$. Получаем пару $(1, 5)$.
2. Если $x = 5$, то $y = 1$. Получаем пару $(5, 1)$.
3. Если $x = -1$, то $y = -5$. Получаем пару $(-1, -5)$.
4. Если $x = -5$, то $y = -1$. Получаем пару $(-5, -1)$.

Ответ: $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$.

б) $x^2 + y^2 = 16$.

Для решения этого уравнения в целых числах нужно найти все пары целых $x$ и $y$, сумма квадратов которых равна 16.
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ — это неотрицательные целые числа, которые являются полными квадратами (0, 1, 4, 9, 16, 25, ...).
Из уравнения следует, что $x^2 \le 16$ и $y^2 \le 16$, так как оба слагаемых неотрицательны. Это означает, что возможные целые значения для $x$ и $y$ лежат в диапазоне от -4 до 4.
Рассмотрим возможные значения для $x^2$ из списка полных квадратов, не превосходящих 16:
- Если $x^2 = 0$, то $x=0$. Тогда $y^2 = 16 - 0 = 16$, и $y = \pm 4$. Получаем решения: $(0, 4)$ и $(0, -4)$.
- Если $x^2 = 1$, то $x=\pm 1$. Тогда $y^2 = 16 - 1 = 15$. Число 15 не является полным квадратом, значит, целых решений для $y$ нет.
- Если $x^2 = 4$, то $x=\pm 2$. Тогда $y^2 = 16 - 4 = 12$. Число 12 не является полным квадратом.
- Если $x^2 = 9$, то $x=\pm 3$. Тогда $y^2 = 16 - 9 = 7$. Число 7 не является полным квадратом.
- Если $x^2 = 16$, то $x=\pm 4$. Тогда $y^2 = 16 - 16 = 0$, и $y = 0$. Получаем решения: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.
Других полных квадратов для $x^2$ в этом диапазоне нет.

Ответ: $(4, 0), (-4, 0), (0, 4), (0, -4)$.

10. Какая линия является графиком уравнения:

а) $xy = 16$;

б) $x = 16 - y$;

в) $y^2 = 16 - x^2$;

г) $y - x^2 = 16$?

Ответ:

а) .........................

б) .........................

в) .........................

г) .........................

а) Рассмотрим уравнение $xy = 16$. Если выразить $y$ через $x$, получим $y = \frac{16}{x}$. Это уравнение задает обратную пропорциональность. Графиком такой функции является гипербола. Так как коэффициент $16$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Ответ: гипербола.

б) Рассмотрим уравнение $x = 16 - y$. Преобразуем его, выразив $y$: $y = 16 - x$ или $y = -x + 16$. Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$, а свободный член $b = 16$. Графиком линейной функции является прямая.
Ответ: прямая.

в) Рассмотрим уравнение $y^2 = 16 - x^2$. Перенесем слагаемое $-x^2$ в левую часть уравнения, изменив его знак: $x^2 + y^2 = 16$. Мы получили каноническое уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$, где центр окружности находится в начале координат $(0,0)$, а радиус $R$ равен $\sqrt{16} = 4$. Таким образом, графиком является окружность.
Ответ: окружность.

г) Рассмотрим уравнение $y - x^2 = 16$. Выразим $y$: $y = x^2 + 16$. Это уравнение является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, $c=16$. Графиком квадратичной функции является парабола. Ветви этой параболы направлены вверх (так как $a > 0$), а ее вершина находится в точке $(0, 16)$.
Ответ: парабола.

40. Числа $x + y$, $3x + y$, $2x + 2y$ составляют арифметическую прогрессию, а числа $(y - x)^2$, $xy + 5$, $(y + 1)^2$ составляют геометрическую прогрессию, причём все эти числа положительны. Найдите $x$ и $y$.

Решение.

Так как числа $x + y$, $3x + y$, $2x + 2y$ составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, следовательно,

$3x + y = \frac{(x + y) + (2x + 2y)}{2}$ (1)

Так как числа $(y - x)^2$, $xy + 5$, $(y + 1)^2$ составляют геометрическую прогрессию, то второе из них равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, следовательно,

$(xy + 5)^2 = (y - x)^2 (y + 1)^2$ (2)

Так как числа $(y - x)^2$, $xy + 5$, $(y + 1)^2$ положительны, т. е.

$(y - x)^2 > 0$, $xy + 5 > 0$, $(y + 1)^2 > 0$, то $x \ne y$, $xy > -5$, $y \ne -1$ (3)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Проверим условия (3):

Следовательно,

Ответ:

Решение. Так как числа $x+y$, $3x+y$, $2x+2y$ составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, следовательно,

$3x+y = \frac{(x+y) + (2x+2y)}{2}$ (1)

Так как числа $(y-x)^2$, $xy+5$, $(y+1)^2$ составляют геометрическую прогрессию, то второе из них равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, следовательно,

$(xy+5)^2 = (y-x)^2(y+1)^2$ (2)

Так как числа $(y-x)^2$, $xy+5$, $(y+1)^2$ положительны, т. е. $(y-x)^2 > 0$, $xy+5 > 0$, $(y+1)^2 > 0$, то $x \neq y$, $xy > -5$, $y \neq -1$ (3).

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Из уравнения (1) получаем:

$2(3x+y) = 3x+3y$

$6x+2y = 3x+3y$

$3x=y$

Из уравнения (2), учитывая, что по условию все члены прогрессии, а значит и $xy+5$, положительны, извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$xy+5 = \sqrt{(y-x)^2(y+1)^2} = |(y-x)(y+1)|$

Из условия положительности членов арифметической прогрессии $x+y>0$. Подставив $y=3x$, получим $4x>0$, откуда $x>0$. Тогда и $y=3x>0$.

Так как $x>0$ и $y>0$, то $y-x = 2x > 0$ и $y+1 = 3x+1 > 0$. Значит, $|(y-x)(y+1)| = (y-x)(y+1)$.

Получаем уравнение $xy+5 = (y-x)(y+1)$.

Подставим $y=3x$ в это уравнение:

$x(3x)+5 = (3x-x)(3x+1)$

$3x^2+5 = 2x(3x+1)$

$3x^2+5 = 6x^2+2x$

$3x^2+2x-5=0$

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 8}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6}{6} = 1$, $x_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Поскольку мы ранее установили, что $x>0$, корень $x_2 = -5/3$ не является решением задачи.

Единственный подходящий корень $x=1$. Находим соответствующее значение $y$:

$y=3x=3 \cdot 1=3$.

Проверим условия (3):

Для найденной пары $(1,3)$ все условия положительности членов прогрессий выполняются.

Арифметическая прогрессия: $x+y = 1+3=4$, $3x+y = 3(1)+3=6$, $2x+2y = 2(1)+2(3)=8$. Члены 4, 6, 8 положительны и образуют арифметическую прогрессию.

Геометрическая прогрессия: $(y-x)^2 = (3-1)^2=4$, $xy+5 = 1 \cdot 3+5=8$, $(y+1)^2 = (3+1)^2=16$. Члены 4, 8, 16 положительны и образуют геометрическую прогрессию.

Следовательно, решением является пара чисел $x=1, y=3$.

Ответ: $x=1, y=3$.