Страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Решите систему уравнений способом подстановки и дайте графическую иллюстрацию

$\begin{cases} xy = 6, \\ x - 2y = 4. \end{cases}$

....................

....................

....................

....................

$y$

$1$

$0$ $1$

$x$

Ответ: ....................

Решение системы уравнений способом подстановки

Дана система уравнений:

1. Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду:

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

Найдем корни, например, по теореме Виета. Сумма корней должна быть равна $-2$, а их произведение $-3$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-3$.

4. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 4 + 2y$:

• Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 + 2 \cdot 1 = 4 + 2 = 6$.
• Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 4 + 2 \cdot (-3) = 4 - 6 = -2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(6, 1)$ и $(-2, -3)$.

Ответ: $(6, 1)$, $(-2, -3)$.

Графическая иллюстрация

Для графической иллюстрации необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

1. График уравнения $xy = 6$

Это уравнение можно представить в виде функции $y = \frac{6}{x}$. Графиком является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Для построения составим таблицу значений, заполнив предоставленный шаблон:

2. График уравнения $x - 2y = 4$

Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Приведем его к стандартному виду $y = kx + b$:

Для построения прямой достаточно двух точек. Заполним таблицу:

Нанеся точки из таблиц на координатную плоскость и соединив их, мы получим гиперболу и прямую. Эти графики пересекаются в двух точках, координаты которых и являются решением системы. Точки пересечения: $(-2, -3)$ и $(6, 1)$. Это полностью совпадает с результатом, полученным аналитически.

Ответ: Графиком системы является гипербола $y=6/x$ и прямая $y = \frac{1}{2}x - 2$, которые пересекаются в точках с координатами $(-2, -3)$ и $(6, 1)$.

10. Решите неравенство:

а) $\frac{(x-1)(x-2)}{x-3} > 0$

б) $\frac{x^2 - 7x + 10}{x-1} < 0$

в) $\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 3x - 10} > 0$

г) $\frac{x^2 - 3x - 2}{x+3} \leq 1$

Ответ: а) ...................

б) ...................

в) ...................

г) ...................

а) Решим неравенство $ \frac{(x-1)(x-2)}{x-3} > 0 $ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя: $(x-1)(x-2) = 0$, откуда $x_1=1$, $x_2=2$.
2. Найдем нуль знаменателя (точку разрыва): $x-3 = 0$, откуда $x_3=3$.
3. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут выколотыми.

4. Определим знаки выражения на каждом интервале:
- при $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$, знак `+`.
- при $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$, знак `-`.
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$, знак `+`.
- при $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$, знак `-`.
5. Выбираем интервалы со знаком `+`, так как неравенство $>0$.
Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $ \frac{x^2-7x+10}{x-1} < 0 $.
1. Разложим числитель на множители. Для этого решим уравнение $x^2-7x+10=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=5$.
Таким образом, $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-2)(x-5)}{x-1} < 0 $.
2. Применяем метод интервалов. Нули числителя: $x=2, x=5$. Нуль знаменателя: $x=1$.
3. Отмечаем точки $1, 2, 5$ на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Определяем знаки на интервалах. При $x > 5$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
5. Выбираем интервалы со знаком `-`, так как неравенство $<0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 5)$.

в) Решим неравенство $ \frac{x^2+4x+3}{x^2-3x-10} > 0 $.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
- Числитель: $x^2+4x+3=0$. Корни $x_1=-1, x_2=-3$. Então $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$.
- Знаменатель: $x^2-3x-10=0$. Корни $x_3=5, x_4=-2$. Então $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$.
2. Неравенство принимает вид: $ \frac{(x+1)(x+3)}{(x-5)(x+2)} > 0 $.
3. Нули числителя и знаменателя: $-3, -2, -1, 5$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.
4. Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки. При $x > 5$ все множители положительны, значит, выражение положительно. Далее знаки чередуются.

5. Выбираем интервалы со знаком `+`.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; -1) \cup (5; +\infty)$.

г) Решим неравенство $ \frac{x^2-3x-2}{x+3} \le 1 $.
1. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{x^2-3x-2}{x+3} - 1 \le 0 $
$ \frac{x^2-3x-2 - (x+3)}{x+3} \le 0 $
$ \frac{x^2-3x-2 - x - 3}{x+3} \le 0 $
$ \frac{x^2-4x-5}{x+3} \le 0 $
2. Разложим числитель на множители: $x^2-4x-5=0$. Корни $x_1=5, x_2=-1$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-5)(x+1)}{x+3} \le 0 $.
3. Нули числителя: $x=5, x=-1$. Эти точки включаем в решение (закрашенные), так как неравенство нестрогое ($\le$).
Нуль знаменателя: $x=-3$. Эту точку исключаем (выколотая).

4. Определяем знаки на интервалах. При $x > 5$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
5. Выбираем интервалы со знаком `-` и точки, где выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-1; 5]$.