Страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

10. Имеет ли решения система уравнений $ \begin{cases} x - 3y = 0 \\ x^2 - 2xy = 12 \\ 2x + y^2 = 16? \end{cases} $

При положительном ответе найдите эти решения.

Решение. Решим систему уравнений $ \begin{cases} x - 3y = 0 \\ x^2 - 2xy = 12. \end{cases} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения третьему уравнению:

Ответ:

Решение. Решим систему уравнений $\begin{cases} x - 3y = 0, \\ x^2 - 2xy = 12. \end{cases}$

Для начала решим систему, состоящую из первых двух уравнений. Из первого уравнения $x - 3y = 0$ выразим переменную $x$:
$x = 3y$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение $x^2 - 2xy = 12$:
$(3y)^2 - 2(3y)y = 12$
$9y^2 - 6y^2 = 12$
$3y^2 = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:
$y^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = 2$
$y_2 = -2$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя ранее выведенную зависимость $x = 3y$:
1. При $y_1 = 2$, получаем $x_1 = 3 \cdot 2 = 6$. Первая пара возможных решений: $(6, 2)$.
2. При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = 3 \cdot (-2) = -6$. Вторая пара возможных решений: $(-6, -2)$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения третьему уравнению:

Третье уравнение системы: $2x + y^2 = 16$.

1. Проверим пару $(6, 2)$. Подставим значения $x = 6$ и $y = 2$ в уравнение:
$2(6) + (2)^2 = 12 + 4 = 16$
$16 = 16$.
Равенство верное, следовательно, пара $(6, 2)$ является решением исходной системы из трех уравнений.

2. Проверим пару $(-6, -2)$. Подставим значения $x = -6$ и $y = -2$ в уравнение:
$2(-6) + (-2)^2 = -12 + 4 = -8$
$-8 \neq 16$.
Равенство неверное, следовательно, пара $(-6, -2)$ не является решением исходной системы.

Ответ: Да, система имеет решение. Единственным решением системы является пара чисел $(6, 2)$.

11. Имеют ли общие точки графики уравнений $2x + y^2 = 19, x^2 + 2y^2 = 34$?

Чтобы определить, имеют ли графики уравнений общие точки, необходимо найти решения системы этих уравнений. Если система имеет действительные решения, то графики пересекаются, и эти решения являются координатами общих точек.

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y^2 = 19 & (1) \\ x^2 + 2y^2 = 34 & (2) \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Из первого уравнения (1) выразим $y^2$:
$y^2 = 19 - 2x$

Теперь подставим это выражение для $y^2$ во второе уравнение (2):
$x^2 + 2(19 - 2x) = 34$

Решим полученное уравнение относительно переменной $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 38 - 4x = 34$
$x^2 - 4x + 38 - 34 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$(x - 2)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующие значения $y$. Подставим $x = 2$ в выражение для $y^2$, которое мы получили ранее:
$y^2 = 19 - 2x$
$y^2 = 19 - 2(2)$
$y^2 = 19 - 4$
$y^2 = 15$

Из этого уравнения находим два действительных значения для $y$:
$y_1 = \sqrt{15}$ и $y_2 = -\sqrt{15}$

Таким образом, система уравнений имеет два действительных решения: $(2, \sqrt{15})$ и $(2, -\sqrt{15})$. Это означает, что графики данных уравнений пересекаются в двух точках.

Ответ: да, графики уравнений имеют две общие точки. Их координаты: $(2, \sqrt{15})$ и $(2, -\sqrt{15})$.

13. Решите неравенство:

a) $|2x - 5| > 3;$

б) $|4x + 6| \le 2;$

в) $|2x - 3| < x + 3;$

г) $|3x + 1| > x + 3.$

Ответ: a) б) в) г)

а) Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a$ — положительное число, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
Для исходного неравенства $|2x - 5| > 3$ получаем:
1) $2x - 5 > 3$
$2x > 3 + 5$
$2x > 8$
$x > 4$
2) $2x - 5 < -3$
$2x < -3 + 5$
$2x < 2$
$x < 1$
Объединяя эти два решения, получаем множество $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$

б) Неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$, где $a$ — неотрицательное число, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
Для исходного неравенства $|4x + 6| \le 2$ получаем:
$-2 \le 4x + 6 \le 2$
Вычтем 6 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:
$-2 - 6 \le 4x + 6 - 6 \le 2 - 6$
$-8 \le 4x \le -4$
Разделим все части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знаки неравенства не меняются):
$\frac{-8}{4} \le \frac{4x}{4} \le \frac{-4}{4}$
$-2 \le x \le -1$
Решение можно записать в виде отрезка $[-2; -1]$.
Ответ: $x \in [-2; -1]$

в) Для решения неравенства $|2x - 3| < x + 3$ заметим, что левая часть (модуль) всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть должна быть строго положительной: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.
При выполнении этого условия обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:
$(|2x - 3|)^2 < (x + 3)^2$
$(2x - 3)^2 < (x + 3)^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$4x^2 - 12x + 9 < x^2 + 6x + 9$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4x^2 - x^2 - 12x - 6x + 9 - 9 < 0$
$3x^2 - 18x < 0$
Разделим обе части на 3:
$x^2 - 6x < 0$
Вынесем $x$ за скобку:
$x(x - 6) < 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x-6)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=6$. Ветви параболы $y = x^2 - 6x$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется на интервале между корнями: $0 < x < 6$.
Пересекаем полученное решение с условием $x > -3$. Интервал $(0; 6)$ полностью входит в область $x > -3$, поэтому он является окончательным решением.
Ответ: $x \in (0; 6)$

г) Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.
Для исходного неравенства $|3x + 1| > x + 3$ получаем:
1) $3x + 1 > x + 3$
$3x - x > 3 - 1$
$2x > 2$
$x > 1$
2) $3x + 1 < -(x + 3)$
$3x + 1 < -x - 3$
$3x + x < -3 - 1$
$4x < -4$
$x < -1$
Решением исходного неравенства является объединение решений этих двух неравенств.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$