Страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. Решите систему уравнений методом сложения:

$\begin{cases} 5x^2 + 2y^2 = 52, \\ 5x^2 - 2y^2 = -12; \end{cases}$

$10x^2 = 40;$

$4y^2 = 64;$

$x^2 = 4;$

$4y^2 = 16;$

$x_1 = -2;$

$y_1 = -4;$

$x_2 = 2;$

$y_2 = 4.$

Ответ: $(-2; -4)$; $(-2; 4)$; $(2; -4)$; $(2; 4).$

a) $\begin{cases} y^2 - x^2 = -13, \\ y^2 + x^2 = 85; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^2 - 3x^2 = 61, \\ y^2 + 3x^2 = 67. \end{cases}$

a) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - x^2 = -13, \\ y^2 + x^2 = 85. \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Сначала сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x^2$:

$(y^2 - x^2) + (y^2 + x^2) = -13 + 85$

$2y^2 = 72$

$y^2 = 36$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 6$ и $y_2 = -6$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $y^2$ и найти $x$:

$(y^2 + x^2) - (y^2 - x^2) = 85 - (-13)$

$y^2 + x^2 - y^2 + x^2 = 85 + 13$

$2x^2 = 98$

$x^2 = 49$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Поскольку в уравнения входят только квадраты переменных, любая комбинация найденных значений $x$ и $y$ будет решением. Таким образом, получаем четыре пары решений $(x; y)$.

Ответ: $(-7; -6)$, $(-7; 6)$, $(7; -6)$, $(7; 6)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - 3x^2 = 61, \\ y^2 + 3x^2 = 67. \end{cases} $$

Решим эту систему также методом сложения. Сложим уравнения, чтобы найти $y$:

$(y^2 - 3x^2) + (y^2 + 3x^2) = 61 + 67$

$2y^2 = 128$

$y^2 = 64$

Находим значения $y$:

$y_1 = 8$ и $y_2 = -8$.

Далее, вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $x$:

$(y^2 + 3x^2) - (y^2 - 3x^2) = 67 - 61$

$y^2 + 3x^2 - y^2 + 3x^2 = 6$

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

Находим значения $x$:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Составляем все возможные пары решений $(x; y)$, которые удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(-1; -8)$, $(-1; 8)$, $(1; -8)$, $(1; 8)$.

7. При каких значениях k система уравнений $\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 31, \\ x + y = k \end{cases}$ не имеет решений?

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 31 \\ x + y = k \end{cases} $$ Система не имеет решений, если при решении методом подстановки мы получим квадратное уравнение, которое не имеет действительных корней.

Выразим переменную $x$ из второго уравнения: $$ x = k - y $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ (k - y)^2 - 3y^2 = 31 $$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения относительно переменной $y$: $$ k^2 - 2ky + y^2 - 3y^2 = 31 $$ $$ -2y^2 - 2ky + k^2 - 31 = 0 $$

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$: $$ 2y^2 + 2ky - (k^2 - 31) = 0 $$ $$ 2y^2 + 2ky + (31 - k^2) = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Исходная система не будет иметь решений в том и только в том случае, если это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Найдем дискриминант $D$ для этого уравнения, где коэффициенты $a=2$, $b=2k$, $c = 31 - k^2$: $$ D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (31 - k^2) $$ $$ D = 4k^2 - 8(31 - k^2) $$ $$ D = 4k^2 - 248 + 8k^2 $$ $$ D = 12k^2 - 248 $$

Теперь решим неравенство $D < 0$: $$ 12k^2 - 248 < 0 $$ $$ 12k^2 < 248 $$ $$ k^2 < \frac{248}{12} $$

Сократим дробь в правой части неравенства на 4: $$ k^2 < \frac{62}{3} $$

Это неравенство выполняется, когда $k$ находится в интервале между $-\sqrt{\frac{62}{3}}$ и $\sqrt{\frac{62}{3}}$: $$ -\sqrt{\frac{62}{3}} < k < \sqrt{\frac{62}{3}} $$

Следовательно, система уравнений не имеет решений, когда значение $k$ принадлежит данному интервалу.

Ответ: $k \in (-\sqrt{\frac{62}{3}}; \sqrt{\frac{62}{3}})$.

11. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} x^2 - x - 30 < 0, \\ x - 1 ≥ 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 ≥ 0, \\ 4x - x^2 ≥ 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - 2x - 48 ≤ 0, \\ x^2 - 4 ≤ 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - 2x + 2 > 0, \\ 4x - x^2 - 5 < 0. \end{cases} $

Ответ: a)

б) в) г)

а) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - x - 30 < 0, \\ x - 1 \ge 0; \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - x - 30 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 30 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{2} = 6$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-5, 6)$.
2. Решим второе неравенство $x - 1 \ge 0$.
$x \ge 1$.
Решение второго неравенства: $x \in [1, +\infty)$.
3. Найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств: $(-5, 6) \cap [1, +\infty)$.
Решением системы является промежуток, где выполняются оба условия, то есть $[1, 6)$.
Ответ: $[1, 6)$.

б) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 \ge 0, \\ 4x - x^2 \ge 0; \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x + 4 \ge 0$.
Выражение в левой части является полным квадратом: $(x-2)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому данное неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $4x - x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный: $x^2 - 4x \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x = 0$, или $x(x - 4) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями включительно.
Решение второго неравенства: $x \in [0, 4]$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap [0, 4]$.
Пересечением является отрезок $[0, 4]$.
Ответ: $[0, 4]$.

в) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 2x - 48 \le 0, \\ x^2 - 4 \le 0; \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x - 48 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 14}{2} = -6$ и $x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 48$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 48 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-6, 8]$.
2. Решим второе неравенство $x^2 - 4 \le 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \le 0$.
Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in [-2, 2]$.
3. Найдем пересечение решений: $[-6, 8] \cap [-2, 2]$.
Очевидно, что отрезок $[-2, 2]$ полностью содержится в отрезке $[-6, 8]$. Их пересечением является отрезок $[-2, 2]$.
Ответ: $[-2, 2]$.

г) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 2x + 2 > 0, \\ 4x - x^2 - 5 < 0. \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x + 2 > 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 2$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), значит ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, парабола полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 2x + 2$ всегда положительно.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $4x - x^2 - 5 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 4x + 5 > 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap (-\infty, +\infty)$.
Пересечением является множество всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.