Номер 11, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} x^2 - x - 30 < 0, \\ x - 1 ≥ 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 ≥ 0, \\ 4x - x^2 ≥ 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 - 2x - 48 ≤ 0, \\ x^2 - 4 ≤ 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - 2x + 2 > 0, \\ 4x - x^2 - 5 < 0. \end{cases} $

Ответ: a)

б) в) г)

а) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - x - 30 < 0, \\ x - 1 \ge 0; \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - x - 30 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 30 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{2} = 6$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-5, 6)$.
2. Решим второе неравенство $x - 1 \ge 0$.
$x \ge 1$.
Решение второго неравенства: $x \in [1, +\infty)$.
3. Найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств: $(-5, 6) \cap [1, +\infty)$.
Решением системы является промежуток, где выполняются оба условия, то есть $[1, 6)$.
Ответ: $[1, 6)$.

б) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 \ge 0, \\ 4x - x^2 \ge 0; \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x + 4 \ge 0$.
Выражение в левой части является полным квадратом: $(x-2)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому данное неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $4x - x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный: $x^2 - 4x \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x = 0$, или $x(x - 4) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями включительно.
Решение второго неравенства: $x \in [0, 4]$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap [0, 4]$.
Пересечением является отрезок $[0, 4]$.
Ответ: $[0, 4]$.

в) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 2x - 48 \le 0, \\ x^2 - 4 \le 0; \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x - 48 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 14}{2} = -6$ и $x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 48$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 48 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-6, 8]$.
2. Решим второе неравенство $x^2 - 4 \le 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \le 0$.
Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in [-2, 2]$.
3. Найдем пересечение решений: $[-6, 8] \cap [-2, 2]$.
Очевидно, что отрезок $[-2, 2]$ полностью содержится в отрезке $[-6, 8]$. Их пересечением является отрезок $[-2, 2]$.
Ответ: $[-2, 2]$.

г) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 2x + 2 > 0, \\ 4x - x^2 - 5 < 0. \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 2x + 2 > 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 2$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), значит ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, парабола полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 2x + 2$ всегда положительно.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $4x - x^2 - 5 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 4x + 5 > 0$.
Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, +\infty) \cap (-\infty, +\infty)$.
Пересечением является множество всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.