Номер 16, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. При каких значениях k уравнение не имеет корней:

a) $4x^2 - 2kx + k + 3 = 0$;

б) $x^2 - 2kx - k = 0?

Ответ: a) ... б) ...

а) $4x^2 - 2kx + k + 3 = 0$

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант (D) меньше нуля. Формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ такова: $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении коэффициенты равны:

• $a = 4$
• $b = -2k$
• $c = k + 3$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (k + 3) = 4k^2 - 16(k + 3) = 4k^2 - 16k - 48$.

Условие отсутствия корней: $D < 0$.

$4k^2 - 16k - 48 < 0$

Разделим обе части неравенства на 4, чтобы упростить его:

$k^2 - 4k - 12 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $k^2 - 4k - 12 = 0$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

Дискриминант для $k$: $D_k = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

$k_1 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$k_2 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Корни $k = -2$ и $k = 6$ разбивают числовую ось на три интервала. Так как коэффициент при $k^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = k^2 - 4k - 12$ направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля находятся между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-2 < k < 6$.

Ответ: $k \in (-2; 6)$.

б) $x^2 - 2kx - k = 0$

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

В данном уравнении коэффициенты:

• $a = 1$
• $b = -2k$
• $c = -k$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k) = 4k^2 + 4k$.

Решим неравенство $D < 0$:

$4k^2 + 4k < 0$

Разделим обе части на 4:

$k^2 + k < 0$

Найдем корни уравнения $k^2 + k = 0$:

$k(k + 1) = 0$

Отсюда получаем корни: $k_1 = 0$ и $k_2 = -1$.

Ветви параболы $y = k^2 + k$ направлены вверх, поэтому неравенство $k^2 + k < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < k < 0$.

Ответ: $k \in (-1; 0)$.