Номер 14, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{10x - 4}; $

б) $ \sqrt{8 - 0,2x}; $

в) $ \sqrt{2x - x^2}; $

г) $ \sqrt{-2 + x + x^2}; $

д) $ \sqrt{15 - 6x} + \sqrt{4x - 1}; $

е) $ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{7x - 12}. $

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) .........................

г) ......................... д) ......................... е) .........................

а) Выражение $\sqrt{10x - 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $10x - 4 \ge 0$.

Решим это линейное неравенство:

$10x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{10}$

$x \ge 0.4$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $[0.4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [0.4; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{8 - 0.2x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно: $8 - 0.2x \ge 0$.

Решим неравенство:

$-0.2x \ge -8$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-0.2$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-8}{-0.2}$

$x \le 40$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x$, принадлежащем промежутку $(-\infty; 40]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 40]$.

в) Для того чтобы выражение $\sqrt{2x - x^2}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $2x - x^2 \ge 0$.

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x - x^2 = 0$.

$x(2 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = 2x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $0 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [0; 2]$.

г) Выражение $\sqrt{-2 + x + x^2}$ имеет смысл, если подкоренное выражение $x^2 + x - 2$ неотрицательно, то есть $x^2 + x - 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Значит, функция принимает неотрицательные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -2$ или $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

д) Данное выражение является суммой двух квадратных корней. Оно имеет смысл тогда и только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 15 - 6x \ge 0 \\ 4x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $15 - 6x \ge 0 \implies 15 \ge 6x \implies x \le \frac{15}{6} \implies x \le 2.5$.

Второе неравенство: $4x - 1 \ge 0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4} \implies x \ge 0.25$.

Найдем пересечение решений: $x$ должен одновременно удовлетворять условиям $x \le 2.5$ и $x \ge 0.25$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0.25 \le x \le 2.5$.

Ответ: $x \in [0.25; 2.5]$.

е) Выражение $\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{7x - 12}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 1 \ge 0 \\ 7x - 12 \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 + 1 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$, и, следовательно, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе неравенство: $7x - 12 \ge 0$.

$7x \ge 12$

$x \ge \frac{12}{7}$

Областью допустимых значений является пересечение решений обоих неравенств. Так как первое неравенство верно для всех $x$, то решение системы совпадает с решением второго неравенства: $x \ge \frac{12}{7}$.

Ответ: $x \in [\frac{12}{7}; +\infty)$.