Номер 13, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Решите неравенство:

a) $|2x - 5| > 3;$

б) $|4x + 6| \le 2;$

в) $|2x - 3| < x + 3;$

г) $|3x + 1| > x + 3.$

Ответ: a) б) в) г)

а) Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a$ — положительное число, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
Для исходного неравенства $|2x - 5| > 3$ получаем:
1) $2x - 5 > 3$
$2x > 3 + 5$
$2x > 8$
$x > 4$
2) $2x - 5 < -3$
$2x < -3 + 5$
$2x < 2$
$x < 1$
Объединяя эти два решения, получаем множество $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$

б) Неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$, где $a$ — неотрицательное число, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
Для исходного неравенства $|4x + 6| \le 2$ получаем:
$-2 \le 4x + 6 \le 2$
Вычтем 6 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:
$-2 - 6 \le 4x + 6 - 6 \le 2 - 6$
$-8 \le 4x \le -4$
Разделим все части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знаки неравенства не меняются):
$\frac{-8}{4} \le \frac{4x}{4} \le \frac{-4}{4}$
$-2 \le x \le -1$
Решение можно записать в виде отрезка $[-2; -1]$.
Ответ: $x \in [-2; -1]$

в) Для решения неравенства $|2x - 3| < x + 3$ заметим, что левая часть (модуль) всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть должна быть строго положительной: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.
При выполнении этого условия обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохраняя знак неравенства:
$(|2x - 3|)^2 < (x + 3)^2$
$(2x - 3)^2 < (x + 3)^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$4x^2 - 12x + 9 < x^2 + 6x + 9$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$4x^2 - x^2 - 12x - 6x + 9 - 9 < 0$
$3x^2 - 18x < 0$
Разделим обе части на 3:
$x^2 - 6x < 0$
Вынесем $x$ за скобку:
$x(x - 6) < 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x-6)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=6$. Ветви параболы $y = x^2 - 6x$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется на интервале между корнями: $0 < x < 6$.
Пересекаем полученное решение с условием $x > -3$. Интервал $(0; 6)$ полностью входит в область $x > -3$, поэтому он является окончательным решением.
Ответ: $x \in (0; 6)$

г) Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.
Для исходного неравенства $|3x + 1| > x + 3$ получаем:
1) $3x + 1 > x + 3$
$3x - x > 3 - 1$
$2x > 2$
$x > 1$
2) $3x + 1 < -(x + 3)$
$3x + 1 < -x - 3$
$3x + x < -3 - 1$
$4x < -4$
$x < -1$
Решением исходного неравенства является объединение решений этих двух неравенств.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$