Номер 10, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Решите неравенство:

а) $\frac{(x-1)(x-2)}{x-3} > 0$

б) $\frac{x^2 - 7x + 10}{x-1} < 0$

в) $\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 3x - 10} > 0$

г) $\frac{x^2 - 3x - 2}{x+3} \leq 1$

Ответ: а) ...................

б) ...................

в) ...................

г) ...................

а) Решим неравенство $ \frac{(x-1)(x-2)}{x-3} > 0 $ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя: $(x-1)(x-2) = 0$, откуда $x_1=1$, $x_2=2$.
2. Найдем нуль знаменателя (точку разрыва): $x-3 = 0$, откуда $x_3=3$.
3. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут выколотыми.

4. Определим знаки выражения на каждом интервале:
- при $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$, знак `+`.
- при $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$, знак `-`.
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$, знак `+`.
- при $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$, знак `-`.
5. Выбираем интервалы со знаком `+`, так как неравенство $>0$.
Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $ \frac{x^2-7x+10}{x-1} < 0 $.
1. Разложим числитель на множители. Для этого решим уравнение $x^2-7x+10=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=5$.
Таким образом, $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-2)(x-5)}{x-1} < 0 $.
2. Применяем метод интервалов. Нули числителя: $x=2, x=5$. Нуль знаменателя: $x=1$.
3. Отмечаем точки $1, 2, 5$ на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Определяем знаки на интервалах. При $x > 5$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
5. Выбираем интервалы со знаком `-`, так как неравенство $<0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 5)$.

в) Решим неравенство $ \frac{x^2+4x+3}{x^2-3x-10} > 0 $.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
- Числитель: $x^2+4x+3=0$. Корни $x_1=-1, x_2=-3$. Então $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$.
- Знаменатель: $x^2-3x-10=0$. Корни $x_3=5, x_4=-2$. Então $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$.
2. Неравенство принимает вид: $ \frac{(x+1)(x+3)}{(x-5)(x+2)} > 0 $.
3. Нули числителя и знаменателя: $-3, -2, -1, 5$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.
4. Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки. При $x > 5$ все множители положительны, значит, выражение положительно. Далее знаки чередуются.

5. Выбираем интервалы со знаком `+`.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; -1) \cup (5; +\infty)$.

г) Решим неравенство $ \frac{x^2-3x-2}{x+3} \le 1 $.
1. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{x^2-3x-2}{x+3} - 1 \le 0 $
$ \frac{x^2-3x-2 - (x+3)}{x+3} \le 0 $
$ \frac{x^2-3x-2 - x - 3}{x+3} \le 0 $
$ \frac{x^2-4x-5}{x+3} \le 0 $
2. Разложим числитель на множители: $x^2-4x-5=0$. Корни $x_1=5, x_2=-1$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-5)(x+1)}{x+3} \le 0 $.
3. Нули числителя: $x=5, x=-1$. Эти точки включаем в решение (закрашенные), так как неравенство нестрогое ($\le$).
Нуль знаменателя: $x=-3$. Эту точку исключаем (выколотая).

4. Определяем знаки на интервалах. При $x > 5$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
5. Выбираем интервалы со знаком `-` и точки, где выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [-1; 5]$.