Номер 12, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. При каких значениях x квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 12$:

а) принимает отрицательные значения

б) принимает положительные значения

Ответ: а) б)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 12$ принимает отрицательные или положительные значения, необходимо решить соответствующие неравенства. Для этого сначала найдём корни квадратного трёхчлена, приравняв его к нулю.

Решим уравнение:

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Корни $x = -2$ и $x = 6$ являются точками, в которых значение трёхчлена равно нулю. Графиком функции $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

а) принимает отрицательные значения

Нам нужно решить неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, она принимает отрицательные значения (находится ниже оси Ox) на интервале между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал от $-2$ до $6$.

Ответ: $x \in (-2, 6)$.

б) принимает положительные значения

Нам нужно решить неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$.

Парабола с ветвями вверх принимает положительные значения (находится выше оси Ox) на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -2$ и $x > 6$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$.