Страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

8. Равносильны ли системы уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ 2x - y = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} y^2 - 2x^2 = 7, \\ y + 4x = 1 \end{cases}$?

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, найдем решения для каждой из них и сравним полученные множества решений.

Решение первой системы:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 2x - 5$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x - 5)^2 = 10$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 10$

$5x^2 - 20x + 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда легко найти корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня x, используя выражение $y = 2x - 5$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3$.

При $x_2 = 3$: $y_2 = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, первая система имеет два решения: $(1, -3)$ и $(3, 1)$.

Решение второй системы:

$ \begin{cases} y^2 - 2x^2 = 7 \\ y + 4x = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 1 - 4x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(1 - 4x)^2 - 2x^2 = 7$

$1 - 8x + 16x^2 - 2x^2 = 7$

$14x^2 - 8x + 1 - 7 = 0$

$14x^2 - 8x - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$7x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения для x:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{4 \pm 10}{14}$

$x_1 = \frac{4 + 10}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{4 - 10}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя выражение $y = 1 - 4x$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1 - 4(1) = 1 - 4 = -3$.

При $x_2 = -\frac{3}{7}$: $y_2 = 1 - 4(-\frac{3}{7}) = 1 + \frac{12}{7} = \frac{7}{7} + \frac{12}{7} = \frac{19}{7}$.

Таким образом, вторая система имеет два решения: $(1, -3)$ и $(-\frac{3}{7}, \frac{19}{7})$.

Сравнение решений и вывод:

Множество решений первой системы: $\{(1, -3), (3, 1)\}$.

Множество решений второй системы: $\{(1, -3), (-\frac{3}{7}, \frac{19}{7})\}$.

Поскольку множества решений двух систем не совпадают (они имеют лишь одно общее решение $(1, -3)$, а вторые решения различны), системы не являются равносильными.

Ответ: нет, системы уравнений не являются равносильными.

9. Не выполняя построения, найдите точки пересечения окружности $x^2+y^2=16$ и параболы $y=4-x^2$.

Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений окружности и параболы:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = 4 - x^2 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x^2$ через $y$:

$x^2 = 4 - y$

Теперь подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:

$(4 - y) + y^2 = 16$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Приведем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$y^2 - y + 4 - 16 = 0$

$y^2 - y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x^2 = 4 - y$.

1. При $y = 4$:

$x^2 = 4 - 4 = 0$

$x = 0$

Следовательно, первая точка пересечения — $(0; 4)$.

2. При $y = -3$:

$x^2 = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x = \sqrt{7}$ и $x = -\sqrt{7}$.

Следовательно, еще две точки пересечения — $(\sqrt{7}; -3)$ и $(-\sqrt{7}; -3)$.

Таким образом, окружность и парабола пересекаются в трех точках.

Ответ: $(0; 4)$, $(\sqrt{7}; -3)$, $(-\sqrt{7}; -3)$.

12. При каких значениях x квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 12$:

а) принимает отрицательные значения

б) принимает положительные значения

Ответ: а) б)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ квадратный трёхчлен $x^2 - 4x - 12$ принимает отрицательные или положительные значения, необходимо решить соответствующие неравенства. Для этого сначала найдём корни квадратного трёхчлена, приравняв его к нулю.

Решим уравнение:

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Корни $x = -2$ и $x = 6$ являются точками, в которых значение трёхчлена равно нулю. Графиком функции $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

а) принимает отрицательные значения

Нам нужно решить неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, она принимает отрицательные значения (находится ниже оси Ox) на интервале между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал от $-2$ до $6$.

Ответ: $x \in (-2, 6)$.

б) принимает положительные значения

Нам нужно решить неравенство $x^2 - 4x - 12 > 0$.

Парабола с ветвями вверх принимает положительные значения (находится выше оси Ox) на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -2$ и $x > 6$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$.