Страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

16. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 14 - 2y, \\ x^2 - 4y = 21 - y^2. \end{cases}$

Предисловие

Глава I. Числа и ...

1. Действия над действительными числами

2. Сравнение действительных чисел

3. Погрешность и точность измерений

в окружающем мире

Глава II. Функции и их свойства

7. Свойства функций

Ответ:

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить на координатной плоскости графики, соответствующие каждому уравнению системы. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + 2x + y^2 = 14 - 2y$. Преобразуем его, чтобы определить вид графика. Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть:

$x^2 + 2x + y^2 + 2y = 14$

Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Для этого добавим к обеим частям уравнения необходимые константы:

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 14 + 1 + 1$

$(x+1)^2 + (y+1)^2 = 16$

Это уравнение окружности с центром в точке $C_1(-1, -1)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{16} = 4$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2 - 4y = 21 - y^2$. Также преобразуем его:

$x^2 + y^2 - 4y = 21$

Выделим полный квадрат для переменной $y$:

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 21 + 4$

$x^2 + (y-2)^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в точке $C_2(0, 2)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{25} = 5$.

Теперь построим обе окружности на координатной плоскости. Первая окружность имеет центр в $(-1, -1)$ и радиус 4. Вторая окружность имеет центр в $(0, 2)$ и радиус 5. Нанеся графики на координатную сетку, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Эти точки и являются решением системы уравнений.

Так как точки пересечения не имеют целочисленных координат, их значения можно определить с графика лишь приблизительно. Точка $A$ находится в четвертой координатной четверти, а точка $B$ — во второй. Считывая их координаты с графика, получаем:

Точка $A$ имеет приблизительные координаты $(2.8, -2.1)$.

Точка $B$ имеет приблизительные координаты $(-4.8, 0.4)$.

Ответ: $(2.8, -2.1)$, $(-4.8, 0.4)$.

17. Выясните с помощью графиков, сколько решений имеет система уравнений

$$ \begin{cases} xy = 8 \\ y = 0,5x^2 - 9 \end{cases} $$

и найдите эти решения.

x

y

x

y

y

x

0

1

1

Ответ: ............................

Для того чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, в одной системе координат. Точки пересечения этих графиков и будут решениями системы.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 8 \\ y = 0,5x^2 - 9 \end{cases}$$

Первое уравнение системы, $xy = 8$, можно представить в виде функции $y = \frac{8}{x}$. Второе уравнение, $y = 0,5x^2 - 9$, уже представлено в виде функции.

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=8$ положителен, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для графика. Составим таблицу значений для построения графика:

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = 0$. Ордината вершины: $y_v = 0,5 \cdot 0^2 - 9 = -9$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -9)$. Парабола симметрична относительно оси Oy. Составим таблицу значений для построения:

Построим оба графика на одной координатной плоскости. График гиперболы и график параболы пересекаются в двух точках. Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Так как точки пересечения не находятся в узлах координатной сетки (точках с целочисленными координатами), мы можем найти их координаты только приблизительно, считав их с графика.

• Первая точка пересечения расположена в I координатной четверти. Ее приблизительные координаты: $x \approx 4,6$; $y \approx 1,7$.
• Вторая точка пересечения расположена в III координатной четверти. Ее приблизительные координаты: $x \approx -3,7$; $y \approx -2,2$.

Ответ: система имеет 2 решения. Приблизительные решения: $(4,6; 1,7)$ и $(-3,7; -2,2)$.

17. При каких значениях c неравенство верно при любых значениях переменной x:

a) $x^2 + (c + 2)x + 8c + 1 > 0;$

б) $(5 - c)x^2 - 2(1 - c)x + 2(1 - c) < 0?$

Ответ: a) .....................

б) .....................

а) $x^2 + (c + 2)x + 8c + 1 > 0$

Данное неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Графиком функции $y = x^2 + (c + 2)x + 8c + 1$ является парабола. Чтобы неравенство $y > 0$ выполнялось при любых значениях $x$, необходимо, чтобы вся парабола находилась выше оси абсцисс. Это возможно при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) должен быть положительным.
2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным (что означает отсутствие действительных корней, то есть точек пересечения с осью Ox).

Проверим эти условия:

1. Старший коэффициент $a = 1$. Так как $1 > 0$, первое условие выполняется всегда. Ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант $D$ и потребуем, чтобы он был меньше нуля.

$D = b^2 - 4ac = (c+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8c + 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (c^2 + 4c + 4) - (32c + 4) = c^2 + 4c + 4 - 32c - 4 = c^2 - 28c$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$c^2 - 28c < 0$

Вынесем $c$ за скобки:

$c(c - 28) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $c(c - 28) = 0$ равны $c_1=0$ и $c_2=28$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. Так как это парабола с ветвями вверх, отрицательные значения находятся между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 < c < 28$.

Ответ: $c \in (0; 28)$

б) $(5 - c)x^2 - 2(1 - c)x + 2(1 - c) < 0$

Это неравенство является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$5 - c = 0 \implies c = 5$

Подставим $c=5$ в исходное неравенство:

$(5 - 5)x^2 - 2(1 - 5)x + 2(1 - 5) < 0$

$0 \cdot x^2 - 2(-4)x + 2(-4) < 0$

$8x - 8 < 0$

$8x < 8$

$x < 1$

Это неравенство выполняется не при всех значениях $x$, а только при $x < 1$. Следовательно, $c=5$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $c \neq 5$.

В этом случае мы имеем дело с квадратичной функцией $y = (5 - c)x^2 - 2(1 - c)x + 2(1 - c)$. Чтобы неравенство $y < 0$ выполнялось для всех $x$, график этой функции (парабола) должен полностью лежать ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз).
2. Дискриминант должен быть отрицательным (нет точек пересечения с осью Ox).

1. Решим первое условие:

$a = 5 - c < 0 \implies c > 5$

2. Найдем дискриминант $D$ и потребуем, чтобы он был меньше нуля. Удобнее использовать формулу для "четверти дискриминанта" $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$, так как коэффициент $b$ четный.

$b = -2(1-c)$, значит $\frac{b}{2} = -(1-c) = c-1$.

$D_1 = (c-1)^2 - (5-c) \cdot 2(1-c) < 0$

$(c-1)^2 + 2(5-c)(c-1) < 0$

Вынесем общий множитель $(c-1)$ за скобки:

$(c-1) \cdot [(c-1) + 2(5-c)] < 0$

$(c-1) \cdot [c - 1 + 10 - 2c] < 0$

$(c-1)(-c + 9) < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(c-1)(c - 9) > 0$

Решением этого неравенства являются интервалы, находящиеся вне корней $c_1=1$ и $c_2=9$.

То есть, $c \in (-\infty; 1) \cup (9; \infty)$.

Теперь объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} c > 5 \\ c \in (-\infty; 1) \cup (9; \infty) \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $c > 9$.

Ответ: $c \in (9; \infty)$