Страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

7. Постройте график функции. В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.

a) $y = 0,5x^2 - 2$

x

y

б) $y = -x^2 + 2x$

x

y

в) $y = 2x^2 - 5x - 3$

x

y

a) График с осями y, x и метками 0, 1.

б) График с осями y, x и метками 0, 1.

в) График с осями y, x и метками 0, 1.

Ответ: а)

б)

в)

а) $y = 0.5x^2 - 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=0.5$, $b=0$, $c=-2$. Графиком является парабола. Так как коэффициент $a = 0.5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 0.5} = 0$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$.

$y_v = 0.5 \cdot (0)^2 - 2 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

2. Наименьшее значение функции равно ординате ее вершины, так как ветви параболы направлены вверх.

$y_{min} = -2$.

3. Для построения графика составим таблицу значений. Выберем несколько значений $x$ симметрично относительно оси симметрии $x=0$.

4. Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости вершину $(0, -2)$ и точки из таблицы. Затем соединить их плавной линией.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -2.

б) $y = -x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, где $a=-1$, $b=2$, $c=0$. Графиком является парабола. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

$y_v = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

2. Наибольшее значение функции равно ординате ее вершины, так как ветви параболы направлены вниз.

$y_{max} = 1$.

3. Для построения графика составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии $x=1$.

4. Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости вершину $(1, 1)$ и точки из таблицы (включая точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$). Затем соединить их плавной линией.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1.

в) $y = 2x^2 - 5x - 3$

Это квадратичная функция, где $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Графиком является парабола. Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$.

$y_v = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) - 3 = 2\left(\frac{25}{16}\right) - \frac{25}{4} - 3 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{49}{8} = -6.125$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.25, -6.125)$.

2. Наименьшее значение функции равно ординате ее вершины.

$y_{min} = -6.125$.

3. Для построения графика составим таблицу значений. Удобно также найти точки пересечения с осями. Пересечение с осью $y$: $x=0 \Rightarrow y=-3$. Пересечение с осью $x$: $y=0 \Rightarrow 2x^2 - 5x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -0.5, x_2 = 3$.

4. Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости вершину $(1.25, -6.125)$ и точки из таблицы. Соединить их плавной линией.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -6,125.