Страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. Постройте график функции $y = -x^2 + 4x + 5$.

Решение. Найдём координаты вершины параболы $A(m; n)$:

$m =$

$n =$

Ветви параболы направлены

При каких значениях $x$:

$y = 0$

$y > 0$

$y < 0$

Функция $y$ возрастает

Функция $y$ убывает

Найдём множество значений функции

Найдём координаты вершины параболы A(m; n):

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -1$, $b = 4$, $c = 5$.

Координата $m$ (абсцисса вершины) вычисляется по формуле $m = - \frac{b}{2a}$.

$m = - \frac{4}{2 \cdot (-1)} = - \frac{4}{-2} = 2$.

Координата $n$ (ордината вершины) вычисляется подстановкой значения $m$ в уравнение функции: $n = y(m)$.

$n = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке A(2; 9).

Ответ: $m = 2$, $n = 9$.

Ветви параболы направлены

Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. В нашем случае $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$). Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: вниз.

Составим таблицу значений для построения графика. Выберем точки симметрично относительно оси симметрии параболы $x=2$.

Построим график функции $y = -x^2 + 4x + 5$ по найденным точкам.

При каких значениях x:

$y = 0$

Чтобы найти значения $x$, при которых $y=0$, решим квадратное уравнение $-x^2 + 4x + 5 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни легко подбираются: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Это точки пересечения графика с осью Ox.

Ответ: $x = -1, x = 5$.

$y > 0$

Функция положительна на интервале, где ее график расположен выше оси Ox. Глядя на график, это происходит между точками пересечения с осью Ox.

Ответ: $x \in (-1; 5)$.

$y < 0$

Функция отрицательна на интервалах, где ее график расположен ниже оси Ox. Это происходит левее точки $x=-1$ и правее точки $x=5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$.

Функция y возрастает

Функция возрастает на промежутке до своей вершины. Так как абсцисса вершины $x=2$, а ветви параболы направлены вниз, функция возрастает слева от вершины.

Ответ: на промежутке $(-\infty; 2]$.

Функция y убывает

Функция убывает на промежутке после своей вершины. Она убывает справа от вершины.

Ответ: на промежутке $[2; \infty)$.

Найдём множество значений функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно ординате вершины, то есть $n=9$. Функция принимает все значения, не превышающие 9.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 9]$.