Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

8. Постройте график функции. В каждом случае укажите значения x, при которых значения функции $y > 0$; $y < 0$.

a) $y = \frac{2}{x}$;

б) $y = -\frac{5}{x}$.

a) б) Ответ:

a) $y > 0$ при ..................., $y < 0$ при ...................;

б) $y > 0$ при ..................., $y < 0$ при ....................

а)

Функция $y = \frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность. Графиком является гипербола. Так как коэффициент $k=2$ положителен ($k>0$), ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

Для построения графика вычислим координаты нескольких точек, заполнив таблицу:

Если $x = -4$, то $y = \frac{2}{-4} = -0.5$
Если $x = -2$, то $y = \frac{2}{-2} = -1$
Если $x = -1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$
Если $x = 1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$
Если $x = 2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$
Если $x = 4$, то $y = \frac{2}{4} = 0.5$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными линиями (ветвями гиперболы), получим график функции. Оси координат служат асимптотами для графика.

Теперь определим, при каких значениях $x$ функция положительна или отрицательна.

• $y > 0$: значения функции положительны там, где график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Это соответствует первой координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ положительны.
• $y < 0$: значения функции отрицательны там, где график расположен ниже оси абсцисс. Это соответствует третьей координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ отрицательны.

Ответ: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.

б)

Функция $y = -\frac{5}{x}$ — это также обратная пропорциональность. Графиком является гипербола. Так как коэффициент $k=-5$ отрицателен ($k<0$), ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

Для построения графика вычислим координаты нескольких точек:

Если $x = -5$, то $y = -\frac{5}{-5} = 1$
Если $x = -2.5$, то $y = -\frac{5}{-2.5} = 2$
Если $x = -1$, то $y = -\frac{5}{-1} = 5$
Если $x = 1$, то $y = -\frac{5}{1} = -5$
Если $x = 2.5$, то $y = -\frac{5}{2.5} = -2$
Если $x = 5$, то $y = -\frac{5}{5} = -1$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции (гиперболу), ветви которой расположены во II и IV четвертях.

Определим знаки функции по графику.

• $y > 0$: график функции находится выше оси $Ox$ во второй координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ отрицательны.
• $y < 0$: график функции находится ниже оси $Ox$ в четвертой координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ положительны.

Ответ: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.

9. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y=x+5$ и $y=2x^2-1$;

б) $y=\sqrt{x}$ и $y=x-2$.

Ответ: а) ......................... б) .........................

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = x + 5$ и $y = 2x^2 - 1$, нужно приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают.

$2x^2 - 1 = x + 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x - 1 - 5 = 0$

$2x^2 - x - 6 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-6$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать линейное уравнение $y = x + 5$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 + 5 = 7$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(2, 7)$.

Для $x_2 = -1.5$:

$y_2 = -1.5 + 5 = 3.5$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(-1.5, 3.5)$.

Ответ: $(2, 7)$ и $(-1.5, 3.5)$.

б)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$ приравняем их правые части.

$\sqrt{x} = x - 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Кроме того, значение квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 2 \ge 0$, что означает $x \ge 2$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 2$).

$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, поэтому это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

$x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, значит, это единственный корень уравнения.

Найдем соответствующую ординату ($y$), подставив $x = 4$ в любое из исходных уравнений, например, $y = x - 2$:

$y = 4 - 2 = 2$

Проверка по второму уравнению: $y = \sqrt{4} = 2$. Все верно.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(4, 2)$.

Ответ: $(4, 2)$.