Страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Каково взаимное расположение графиков функций?

В каждом случае изобразите графики схематически.

а) $y = 6x + 1,5$ и $y = 6x - 1$

б) $y = -5x + 3$ и $y = 5x + 3$

в) $y = 0,4x$ и $y = 0,4$

г) $y = -2x + 9$ и $y = 10 - 2x.$

Ответ: а) ....................... б) .......................

в) ....................... г) .......................

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены не равны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.
• Если угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются в одной точке.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.

а) Даны функции $y = 6x + 1,5$ и $y = 6x - 1$.

Для первой функции $y_1 = 6x + 1,5$ угловой коэффициент $k_1 = 6$, а свободный член $b_1 = 1,5$.
Для второй функции $y_2 = 6x - 1$ угловой коэффициент $k_2 = 6$, а свободный член $b_2 = -1$.
Так как $k_1 = k_2 = 6$ и $b_1 \neq b_2$ ($1,5 \neq -1$), то графики функций являются параллельными прямыми.
Схематический график: Две параллельные прямые с одинаковым крутым положительным наклоном. Первая прямая пересекает ось OY в точке $(0; 1,5)$, а вторая — в точке $(0; -1)$.

Ответ: графики функций параллельны.

б) Даны функции $y = -5x + 3$ и $y = 5x + 3$.

Для первой функции $y_1 = -5x + 3$ угловой коэффициент $k_1 = -5$, а свободный член $b_1 = 3$.
Для второй функции $y_2 = 5x + 3$ угловой коэффициент $k_2 = 5$, а свободный член $b_2 = 3$.
Так как угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются. Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений:
$-5x + 3 = 5x + 3$
$10x = 0$
$x = 0$
Подставим $x=0$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$: $y = 5(0) + 3 = 3$.
Точка пересечения — $(0; 3)$. Это общая точка пересечения с осью OY.
Схематический график: Две прямые, пересекающиеся на оси OY в точке $(0; 3)$. График $y=-5x+3$ имеет крутой отрицательный наклон, а график $y=5x+3$ — крутой положительный наклон.

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(0; 3)$.

в) Даны функции $y = 0,4x$ и $y = 0,4$.

Первая функция $y_1 = 0,4x$ имеет угловой коэффициент $k_1 = 0,4$ и $b_1=0$.
Вторая функция $y_2 = 0,4$ является константой, это горизонтальная прямая. Ее можно записать в виде $y=0x+0,4$, где угловой коэффициент $k_2 = 0$ и $b_2=0,4$.
Так как $k_1 \neq k_2$ ($0,4 \neq 0$), то графики пересекаются. Найдем точку пересечения:
$0,4x = 0,4$
$x = 1$
Координата $y$ в точке пересечения равна $0,4$.
Точка пересечения — $(1; 0,4)$.
Схематический график: Прямая $y=0,4x$ проходит через начало координат $(0;0)$ с небольшим положительным наклоном. Прямая $y=0,4$ — это горизонтальная линия, пересекающая ось OY в точке $(0; 0,4)$. Они пересекаются в точке $(1; 0,4)$.

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(1; 0,4)$.

г) Даны функции $y = -2x + 9$ и $y = 10 - 2x$.

Запишем вторую функцию в стандартном виде: $y = -2x + 10$.
Для первой функции $y_1 = -2x + 9$ угловой коэффициент $k_1 = -2$, а свободный член $b_1 = 9$.
Для второй функции $y_2 = -2x + 10$ угловой коэффициент $k_2 = -2$, а свободный член $b_2 = 10$.
Так как $k_1 = k_2 = -2$ и $b_1 \neq b_2$ ($9 \neq 10$), то графики функций являются параллельными прямыми.
Схематический график: Две параллельные прямые с одинаковым отрицательным наклоном. Первая прямая пересекает ось OY в точке $(0; 9)$, а вторая — в точке $(0; 10)$.

Ответ: графики функций параллельны.