Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

16. Что является графиком уравнения

$\frac{(x-y)^2}{2} + y(x-4) + 2(y+1) = 18?$

Выберите верный ответ.

1. Парабола

2. Гипербола

3. Окружность

4. Пара прямых

Для того чтобы определить, что является графиком данного уравнения, необходимо его упростить и привести к каноническому виду.

Исходное уравнение: $$ \frac{(x - y)^2}{2} + y(x - 4) + 2(y + 1) = 18 $$

Первым шагом умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $$ (x - y)^2 + 2y(x - 4) + 4(y + 1) = 36 $$

Далее, раскроем все скобки в левой части уравнения: $$ (x^2 - 2xy + y^2) + (2xy - 8y) + (4y + 4) = 36 $$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-2xy$ и $+2xy$ взаимно уничтожаются. Члены $-8y$ и $+4y$ в сумме дают $-4y$. В результате получаем: $$ x^2 + y^2 - 4y + 4 = 36 $$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Выражение $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности $(y - 2)^2$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $$ x^2 + (y - 2)^2 = 36 $$

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$, где $(h, k)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(0, 2)$, а ее радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является окружность, что соответствует варианту ответа 3.

Ответ: 3. Окружность

17. Найдите целые решения уравнения:

а) $xy + y^2 = 5$; б) $x^2 - y^2 = 7$; в) $xy - 2y^2 = 3$.

Решение. а) Представим данное уравнение в виде $y(x + y) = 5$.

Уравнение имеет целые решения, если один из множителей равен $-1$ или $1$, а другой равен соответственно $-5$ или $5$.

Имеем четыре системы уравнений:

.......................

Ответ: а) ...........................

в) ..................

а) $xy + y^2 = 5$

Представим уравнение в виде, вынеся общий множитель $y$ за скобки:
$y(x + y) = 5$
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то множители $y$ и $(x + y)$ также должны быть целыми. Произведение этих множителей равно 5. Рассмотрим все возможные пары целых множителей числа 5: (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1). Это приводит к четырем системам уравнений:

1) $\begin{cases} y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x + 1 = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x = 4 \end{cases}$. Решение: $(4, 1)$.

2) $\begin{cases} y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 5 \\ x + 5 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 5 \\ x = -4 \end{cases}$. Решение: $(-4, 5)$.

3) $\begin{cases} y = -1 \\ x + y = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x - 1 = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x = -4 \end{cases}$. Решение: $(-4, -1)$.

4) $\begin{cases} y = -5 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -5 \\ x - 5 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -5 \\ x = 4 \end{cases}$. Решение: $(4, -5)$.

Ответ: $(4, 1), (-4, 5), (-4, -1), (4, -5)$.

б) $x^2 - y^2 = 7$

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов:
$(x - y)(x + y) = 7$
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются целыми. Произведение этих множителей равно 7. Рассмотрим все возможные пары целых множителей числа 7: (1, 7), (7, 1), (-1, -7), (-7, -1). Это приводит к четырем системам уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases}$. Сложив два уравнения, получим $2x = 8$, откуда $x=4$. Подставив $x=4$ во второе уравнение, получим $4 + y = 7$, откуда $y=3$. Решение: $(4, 3)$.

2) $\begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = 1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 8$, откуда $x=4$. Подставив $x=4$ во второе уравнение, получим $4 + y = 1$, откуда $y=-3$. Решение: $(4, -3)$.

3) $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -7 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -8$, откуда $x=-4$. Подставив $x=-4$ во второе уравнение, получим $-4 + y = -7$, откуда $y=-3$. Решение: $(-4, -3)$.

4) $\begin{cases} x - y = -7 \\ x + y = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -8$, откуда $x=-4$. Подставив $x=-4$ во второе уравнение, получим $-4 + y = -1$, откуда $y=3$. Решение: $(-4, 3)$.

Ответ: $(4, 3), (4, -3), (-4, -3), (-4, 3)$.

в) $xy - 2y^2 = 3$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x - 2y) = 3$
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то множители $y$ и $(x - 2y)$ также должны быть целыми. Их произведение равно 3. Рассмотрим все возможные пары целых множителей числа 3: (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1). Это приводит к четырем системам уравнений:

1) $\begin{cases} y = 1 \\ x - 2y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x - 2(1) = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x = 5 \end{cases}$. Решение: $(5, 1)$.

2) $\begin{cases} y = 3 \\ x - 2y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 3 \\ x - 2(3) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 3 \\ x = 7 \end{cases}$. Решение: $(7, 3)$.

3) $\begin{cases} y = -1 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x - 2(-1) = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x = -5 \end{cases}$. Решение: $(-5, -1)$.

4) $\begin{cases} y = -3 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -3 \\ x - 2(-3) = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -3 \\ x = -7 \end{cases}$. Решение: $(-7, -3)$.

Ответ: $(5, 1), (7, 3), (-5, -1), (-7, -3)$.

3. Решите неравенство:

a) $(4 - 3x)(\sqrt{11} - 4) > 0;$

б) $(5 - \sqrt{21})(5x + 2) < 0;$

в) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{3 + 4x} > 0;$

г) $\frac{\sqrt{13} - \sqrt{14}}{6x + 2} < 0.$

Ответ: a) б) в) г)

а) $(4 - 3x)(\sqrt{11} - 4) > 0$

Оценим знак второго множителя $(\sqrt{11} - 4)$.
Так как $11 < 16$, то $\sqrt{11} < \sqrt{16}$, то есть $\sqrt{11} < 4$.
Следовательно, выражение $(\sqrt{11} - 4)$ является отрицательным числом.

Произведение двух множителей положительно, если оба множителя имеют одинаковый знак. Поскольку второй множитель $(\sqrt{11} - 4)$ отрицательный, то и первый множитель $(4 - 3x)$ также должен быть отрицательным, чтобы их произведение было положительным.
$4 - 3x < 0$
Перенесем 4 в правую часть:
$-3x < -4$
Разделим обе части на -3, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-4}{-3}$
$x > \frac{4}{3}$

Решение в виде интервала: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$

б) $(5 - \sqrt{21})(5x + 2) < 0$

Оценим знак первого множителя $(5 - \sqrt{21})$.
Так как $25 > 21$, то $\sqrt{25} > \sqrt{21}$, то есть $5 > \sqrt{21}$.
Следовательно, выражение $(5 - \sqrt{21})$ является положительным числом.

Произведение двух множителей отрицательно, если множители имеют разные знаки. Поскольку первый множитель $(5 - \sqrt{21})$ положительный, то второй множитель $(5x + 2)$ должен быть отрицательным.
$5x + 2 < 0$
$5x < -2$
$x < -\frac{2}{5}$

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; -\frac{2}{5})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{5})$

в) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{3 + 4x} > 0$

Оценим знак числителя $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.
Так как $6 > 5$, то $\sqrt{6} > \sqrt{5}$.
Следовательно, числитель $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$ является положительным числом.

Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку числитель положителен, то и знаменатель должен быть положительным. Также знаменатель не может быть равен нулю.
$3 + 4x > 0$
$4x > -3$
$x > -\frac{3}{4}$

Решение в виде интервала: $x \in (-\frac{3}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; +\infty)$

г) $\frac{\sqrt{13} - \sqrt{14}}{6x + 2} < 0$

Оценим знак числителя $(\sqrt{13} - \sqrt{14})$.
Так как $13 < 14$, то $\sqrt{13} < \sqrt{14}$.
Следовательно, числитель $(\sqrt{13} - \sqrt{14})$ является отрицательным числом.

Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель отрицателен, знаменатель должен быть положительным. Также знаменатель не может быть равен нулю.
$6x + 2 > 0$
$6x > -2$
$x > -\frac{2}{6}$
$x > -\frac{1}{3}$

Решение в виде интервала: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$