Номер 3, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Решите неравенство:

a) $(4 - 3x)(\sqrt{11} - 4) > 0;$

б) $(5 - \sqrt{21})(5x + 2) < 0;$

в) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{3 + 4x} > 0;$

г) $\frac{\sqrt{13} - \sqrt{14}}{6x + 2} < 0.$

Ответ: a) б) в) г)

а) $(4 - 3x)(\sqrt{11} - 4) > 0$

Оценим знак второго множителя $(\sqrt{11} - 4)$.
Так как $11 < 16$, то $\sqrt{11} < \sqrt{16}$, то есть $\sqrt{11} < 4$.
Следовательно, выражение $(\sqrt{11} - 4)$ является отрицательным числом.

Произведение двух множителей положительно, если оба множителя имеют одинаковый знак. Поскольку второй множитель $(\sqrt{11} - 4)$ отрицательный, то и первый множитель $(4 - 3x)$ также должен быть отрицательным, чтобы их произведение было положительным.
$4 - 3x < 0$
Перенесем 4 в правую часть:
$-3x < -4$
Разделим обе части на -3, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-4}{-3}$
$x > \frac{4}{3}$

Решение в виде интервала: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$

б) $(5 - \sqrt{21})(5x + 2) < 0$

Оценим знак первого множителя $(5 - \sqrt{21})$.
Так как $25 > 21$, то $\sqrt{25} > \sqrt{21}$, то есть $5 > \sqrt{21}$.
Следовательно, выражение $(5 - \sqrt{21})$ является положительным числом.

Произведение двух множителей отрицательно, если множители имеют разные знаки. Поскольку первый множитель $(5 - \sqrt{21})$ положительный, то второй множитель $(5x + 2)$ должен быть отрицательным.
$5x + 2 < 0$
$5x < -2$
$x < -\frac{2}{5}$

Решение в виде интервала: $x \in (-\infty; -\frac{2}{5})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{5})$

в) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{3 + 4x} > 0$

Оценим знак числителя $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.
Так как $6 > 5$, то $\sqrt{6} > \sqrt{5}$.
Следовательно, числитель $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$ является положительным числом.

Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку числитель положителен, то и знаменатель должен быть положительным. Также знаменатель не может быть равен нулю.
$3 + 4x > 0$
$4x > -3$
$x > -\frac{3}{4}$

Решение в виде интервала: $x \in (-\frac{3}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; +\infty)$

г) $\frac{\sqrt{13} - \sqrt{14}}{6x + 2} < 0$

Оценим знак числителя $(\sqrt{13} - \sqrt{14})$.
Так как $13 < 14$, то $\sqrt{13} < \sqrt{14}$.
Следовательно, числитель $(\sqrt{13} - \sqrt{14})$ является отрицательным числом.

Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель отрицателен, знаменатель должен быть положительным. Также знаменатель не может быть равен нулю.
$6x + 2 > 0$
$6x > -2$
$x > -\frac{2}{6}$
$x > -\frac{1}{3}$

Решение в виде интервала: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$