Номер 38, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

38. Три числа составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 21. Если первое число оставить без изменения, из второго числа вычесть 1, а к третьему прибавить 1, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.

Решение. Пусть $x, y, z$ — искомые числа. По условию их сумма равна 21, следовательно,

$x+y+z=21$ (1)

Так как эти числа составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, поэтому

$2y=x+z$ (2)

Если изменить числа, как сказано в условии задачи, то полученные числа $x$, $y-1$, $z+1$ будут составлять геометрическую прогрессию, т. е. второе из них будет равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, поэтому

$(y-1)^2 = x(z+1)$ (3)

Из уравнений (1), (2), (3) составим систему и решим её:

Ответ:

Решение. Пусть $x, y, z$ — искомые числа. По условию их сумма равна 21, следовательно,

$x + y + z = 21$ (1)

Так как эти числа составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, поэтому

$y = \frac{x+z}{2}$ (2)

Если изменить числа, как сказано в условии задачи, то полученные числа $x, y-1, z+1$ будут составлять геометрическую прогрессию, т. е. второе из них будет равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, поэтому

$(y-1)^2 = x(z+1)$ (3)

Из уравнений (1), (2), (3) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x + y + z = 21 \\ y = \frac{x+z}{2} \\ (y-1)^2 = x(z+1) \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x+z = 2y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x+z) + y = 21$

$2y + y = 21$

$3y = 21$

$y = 7$

Теперь подставим значение $y=7$ в первое и третье уравнения системы:

$ \begin{cases} x + 7 + z = 21 \\ (7-1)^2 = x(z+1) \end{cases} \implies \begin{cases} x + z = 14 \\ 36 = x(z+1) \end{cases} $

Из первого уравнения новой системы выразим $z$: $z = 14 - x$.

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение:

$36 = x((14-x)+1)$

$36 = x(15-x)$

$36 = 15x - x^2$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 15x + 36 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2} = \frac{15+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{81}}{2} = \frac{15-9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $z$ для каждого $x$:

1. Если $x=12$, то $z = 14 - 12 = 2$. Искомые числа: 12, 7, 2.

2. Если $x=3$, то $z = 14 - 3 = 11$. Искомые числа: 3, 7, 11.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи. В первом случае арифметическая прогрессия убывающая (разность $d = -5$), во втором — возрастающая (разность $d = 4$).

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.