Номер 37, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Арифметическая прогрессия состоит из восьми членов. Сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна 56, а сумма членов, стоящих на чётных местах, равна 68. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть в данной арифметической прогрессии ($a_n$) первый член равен $a_1$, разность равна $d$. Тогда на нечётных местах стоят члены ................ По условию задачи их сумма равна 56, поэтому ....................... (1)

На чётных местах стоят члены ...................., и по условию задачи их сумма равна 68, поэтому .......................... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

.......................

.......................

.......................

.......................

.......................

Следовательно, первый член $a_1 = ............$, разность $d = ............$

Ответ: ....................

Решение. Пусть в данной арифметической прогрессии $(a_n)$ первый член равен $a_1$, разность равна $d$. Тогда на нечётных местах стоят члены $a_1, a_3, a_5, a_7$. По условию задачи их сумма равна 56, поэтому:

$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 56$

$a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 56$

$4a_1 + 12d = 56$ (1)

На чётных местах стоят члены $a_2, a_4, a_6, a_8$, и по условию задачи их сумма равна 68, поэтому:

$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = 68$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) = 68$

$4a_1 + 16d = 68$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} 4a_1 + 12d = 56 \\ 4a_1 + 16d = 68 \end{cases} $

Для удобства разделим оба уравнения на 4:

$ \begin{cases} a_1 + 3d = 14 \\ a_1 + 4d = 17 \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 4d) - (a_1 + 3d) = 17 - 14$

$d = 3$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 3 \cdot 3 = 14$

$a_1 + 9 = 14$

$a_1 = 14 - 9$

$a_1 = 5$

Следовательно, первый член $a_1 = 5$, разность $d = 3$.

Ответ: первый член равен 5, разность равна 3.