Номер 34, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

34. Среднее арифметическое двух чисел равно 13, а среднее геометрическое — 12. Найдите эти числа.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их среднее арифметическое равно $\frac{x+y}{2}$, что по условию равно 13.

Следовательно, $x+y = 26$ (1)

Среднее геометрическое этих чисел равно $\sqrt{xy}$, что по условию задачи равно 12, следовательно, $xy = 144$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

…

…

…

…

…

…

Следовательно, эти числа … и …

Ответ: …

Решение. Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их среднее арифметическое равно $\frac{x+y}{2}$, что по условию равно 13.

Следовательно, получаем первое уравнение: $\frac{x+y}{2} = 13$ (1)

Среднее геометрическое этих чисел равно $\sqrt{xy}$, что по условию задачи равно 12.

Следовательно, получаем второе уравнение: $\sqrt{xy} = 12$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$\begin{cases} \frac{x+y}{2}=13, \\ \sqrt{xy}=12. \end{cases}$

Для решения системы преобразуем уравнения. Умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения возведем в квадрат (поскольку числа для нахождения среднего геометрического должны быть неотрицательными, это преобразование является равносильным):

$\begin{cases} x+y=26, \\ xy=144. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 26 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x(26-x) = 144$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$26x - x^2 = 144$

$x^2 - 26x + 144 = 0$

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 26, а их произведение равно 144. Этими корнями являются искомые числа $x$ и $y$.

Можно решить уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 676 - 576 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Если $x = 8$, то $y = 26 - 8 = 18$.

Если $x = 18$, то $y = 26 - 18 = 8$.

Следовательно, эти числа 8 и 18.

Ответ: 8 и 18.