Номер 28, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

28. Два равных по массе слитка имеют различное содержание меди. От каждого слитка отрезали по $3/4$ и каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого слитка. В результате оказалось, что в первом слитке процентное содержание меди в 2 раза выше, чем во втором. Во сколько раз во втором слитке было первоначально меди больше, чем в первом?

Заполните таблицы и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $A$ кг — масса каждого слитка.

После того как от каждого слитка отрезали по $3/4$ и каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого слитка, масса каждого слитка не изменилась, изменились массы чистой меди в каждом слитке, а значит, и их концентрации:

Так как в результате оказалось, что в первом слитке процентное содержание (а значит, и концентрация) меди в 2 раза выше, чем во втором, то

........................

Выразим $y$ через $x$:

........................

........................

Следовательно,

........................

Ответ:

........................

Пусть A кг — масса каждого слитка. Введем переменные для первоначальной концентрации меди (в долях от единицы):

• $x$ — концентрация меди в первом слитке.
• $y$ — концентрация меди во втором слитке.

Тогда первоначальная масса меди в первом слитке составляла $xA$ кг, а во втором — $yA$ кг.

Заполните таблицы и закончите решение задачи.

Заполним таблицы в соответствии с условием задачи.

Таблица исходного состояния ("Было"):

От каждого слитка отрезали кусок массой $\frac{3}{4}A$. Оставшаяся часть каждого слитка имеет массу $A - \frac{3}{4}A = \frac{1}{4}A$. Затем отрезанный кусок от второго слитка ($\frac{3}{4}A$ с концентрацией $y$) сплавили с остатком первого ($\frac{1}{4}A$ с концентрацией $x$). И наоборот. Масса каждого нового слитка осталась равной $A$.

Масса меди в новом первом слитке: (медь в остатке 1-го) + (медь в куске 2-го) = $(\frac{1}{4} \cdot xA) + (\frac{3}{4} \cdot yA)$.
Масса меди в новом втором слитке: (медь в остатке 2-го) + (медь в куске 1-го) = $(\frac{1}{4} \cdot yA) + (\frac{3}{4} \cdot xA)$.

Концентрация — это отношение массы меди к общей массе слитка ($A$).

Таблица конечного состояния ("Стало"):

По условию, концентрация меди в первом новом слитке оказалась в 2 раза выше, чем во втором. Составим уравнение на основе концентраций:

$\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y = 2 \left( \frac{1}{4}y + \frac{3}{4}x \right)$

Выразим y через x:

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4 \cdot \left(\frac{1}{4}x + \frac{3}{4}y\right) = 4 \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{4}y + \frac{3}{4}x\right)$

$x + 3y = 2(y + 3x)$

Раскроем скобки в правой части:

$x + 3y = 2y + 6x$

Сгруппируем слагаемые с $y$ в левой части, а с $x$ — в правой:

$3y - 2y = 6x - x$

$y = 5x$

Следовательно,

первоначальная концентрация меди во втором слитке была в 5 раз выше, чем в первом. Вопрос задачи — "во сколько раз во втором слитке было первоначально меди больше, чем в первом". Для ответа на этот вопрос найдем отношение их масс меди:

$\frac{\text{масса меди во 2-м слитке}}{\text{масса меди в 1-м слитке}} = \frac{yA}{xA} = \frac{y}{x}$

Подставим найденное соотношение $y = 5x$:

$\frac{y}{x} = \frac{5x}{x} = 5$

Ответ:

Первоначально меди во втором слитке было в 5 раз больше, чем в первом.