Номер 24, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

24. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли прямая $y=2-x$ и окружность $x^2+y^2=4$. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Решение.

Ответ:

Аналитическое решение (поиск точек пересечения)

Чтобы выяснить, пересекаются ли прямая и окружность, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти линии.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 - x \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + (2 - x)^2 = 4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (4 - 4x + x^2) = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 4x + 4 = 4$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$2x^2 - 4x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два решения для $x$:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Поскольку мы получили два различных действительных корня, прямая и окружность пересекаются в двух точках. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в уравнение прямой $y = 2 - x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2 - 0 = 2$.

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(0, 2)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 2 - 2 = 0$.

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(2, 0)$.

Иллюстрация решения с помощью графиков

Для наглядной иллюстрации построим графики окружности и прямой на координатной плоскости.Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.Уравнение $y = 2 - x$ задает прямую. Для ее построения можно использовать найденные точки пересечения $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: прямая и окружность пересекаются в точках $(0; 2)$ и $(2; 0)$.