Номер 18, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

18. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли:

а) парабола $y=x^2-6x+8$ и прямая $y=4-x$;

б) прямая $y=\frac{1}{2}x+2$ и гипербола $y=\frac{6}{x}$.

а) парабола $y=x^2-6x+8$ и прямая $y=4-x$;

Для того чтобы выяснить, пересекаются ли графики функций, необходимо найти их общие точки. В точках пересечения координаты $x$ и $y$ у графиков совпадают. Следовательно, мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений:

$x^2-6x+8 = 4-x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2-6x+x+8-4=0$

$x^2-5x+4=0$

Наличие или отсутствие действительных корней у этого уравнения определит, пересекаются ли графики. Для этого найдем дискриминант $D=b^2-4ac$:

В нашем уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Поскольку дискриминант $D=9 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют два разных значения $x$, при которых значения $y$ для параболы и прямой совпадают. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: парабола и прямая пересекаются.

б) прямая $y=\frac{1}{2}x+2$ и гипербола $y=\frac{6}{x}$.

Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) возможных точек пересечения. Заметим, что для гиперболы $y=\frac{6}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю ($x \ne 0$).

$\frac{1}{2}x+2 = \frac{6}{x}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $2x$ (это допустимо, так как $x \ne 0$):

$2x \cdot (\frac{1}{2}x+2) = 2x \cdot \frac{6}{x}$

$x^2 + 4x = 12$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2+4x-12=0$

Теперь найдем дискриминант $D=b^2-4ac$ для этого уравнения:

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-12$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Поскольку дискриминант $D=64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это значит, что прямая и гипербола имеют две общие точки.

Ответ: прямая и гипербола пересекаются.