Номер 12, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 2y = 9 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 5y = 9 \\ 5x + 3y = 7 \end{cases}$

Ответ: а) ............................

б) ............................

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - 2y = 9 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно применить метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 2 + y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(2 + y) - 2y = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 + 3y - 2y = 9$

$6 + y = 9$

Теперь найдем значение $y$:

$y = 9 - 6$

$y = 3$

Чтобы найти значение $x$, подставим найденное значение $y=3$ в выражение $x = 2 + y$:

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Проверим решение, подставив значения $x=5$ и $y=3$ в исходную систему:

$5 - 3 = 2$ (верно)

$3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 15 - 6 = 9$ (верно)

Следовательно, решением системы является пара чисел $(5; 3)$.

Ответ: $(5; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 5y = 9 \\ 5x + 3y = 7 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 5. Это позволит получить противоположные коэффициенты при $y$:

$ (2x - 5y = 9) \cdot 3 \implies 6x - 15y = 27 $

$ (5x + 3y = 7) \cdot 5 \implies 25x + 15y = 35 $

Получаем новую, эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 6x - 15y = 27 \\ 25x + 15y = 35 \end{cases} $$

Сложим левые и правые части уравнений этой системы:

$(6x - 15y) + (25x + 15y) = 27 + 35$

$31x = 62$

Отсюда найдем значение $x$:

$x = \frac{62}{31}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $2x - 5y = 9$:

$2(2) - 5y = 9$

$4 - 5y = 9$

$-5y = 9 - 4$

$-5y = 5$

$y = \frac{5}{-5}$

$y = -1$

Проверим решение, подставив значения $x=2$ и $y=-1$ в исходную систему:

$2(2) - 5(-1) = 4 + 5 = 9$ (верно)

$5(2) + 3(-1) = 10 - 3 = 7$ (верно)

Следовательно, решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.