Номер 7, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. В равнобедренном треугольнике основание больше высоты, проведённой к основанию, на 6 см, а площадь его равна 108 $см^2$. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть высота треугольника равна $x$ см, тогда его основа- ние — .......... см. Площадь треугольника равна ...................., что по условию задачи составляет 108 $см^2$.

Следовательно,

....................

Решим это уравнение:

....................

....................

....................

Основание треугольника равно

.................. см, тогда боковая сто- рона равна ................... см.

Ответ:

....................

Решение. Пусть высота треугольника равна $x$ см, тогда его основание — $x + 6$ см. Площадь треугольника равна $\frac{1}{2}x(x+6)$, что по условию задачи составляет 108 см².

Следовательно, можно составить уравнение:
$\frac{1}{2}x(x+6) = 108$

Решим это уравнение:
$x(x+6) = 216$
$x^2 + 6x - 216 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-6 + 30}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-6 - 30}{2} = -18$.
Поскольку длина высоты не может быть отрицательной, то высота треугольника равна 12 см.

Основание треугольника равно $12 + 6 = 18$ см.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Она делит основание на два равных отрезка по $\frac{18}{2} = 9$ см. Боковая сторона является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота (12 см) и половина основания (9 см).
По теореме Пифагора найдем боковую сторону:
$\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

Основание треугольника равно 18 см, тогда боковая сторона равна 15 см.

Ответ: 15 см.