Номер 8, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 2 км. Лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки.

По условию задачи, лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин = ............ ч, значит, ..........................

Ответ: ......................

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Заполним таблицу, учитывая, что скорость течения реки равна 1 км/ч.

По условию задачи, лодка совершает путь в оба конца за 1 ч 30 мин = 1,5 ч, значит, время движения по течению плюс время движения против течения равно общему времени в пути. Составим и решим уравнение:

$\frac{2}{x+1} + \frac{2}{x-1} = 1.5$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Поскольку $x$ — это собственная скорость лодки, она должна быть положительной и превышать скорость течения, то есть $x > 1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2-1$:

$\frac{2(x-1) + 2(x+1)}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{2x - 2 + 2x + 2}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{4x}{x^2-1} = 1.5$

Умножим обе части уравнения на $(x^2-1)$:

$4x = 1.5(x^2 - 1)$

$4x = 1.5x^2 - 1.5$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$1.5x^2 - 4x - 1.5 = 0$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$\sqrt{D} = 10$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Таким образом, собственная скорость лодки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.