Номер 11, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Найдите с помощью графиков число корней уравнения:

а) $ \sqrt{x} = -x^2 + 1 $

б) $ x^3 = \frac{5}{x} $

Заполните таблицы и постройте графики.

x

y

x

y

x

y

x

y

a) y

x

0

1

б) y

x

0

1

Ответ: a) Ответ: б)

Чтобы найти число корней уравнения $\sqrt{x} = -x^2 + 1$, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x^2 + 1$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы, лежащая на боку. Область определения функции: $x \ge 0$. Составим таблицу значений для построения:

2. Построим график функции $y = -x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(0; 1)$, так как график $y=-x^2$ смещен на 1 единицу вверх по оси OY. Составим таблицу значений:

Построим эскизы графиков в одной системе координат. График $y=\sqrt{x}$ выходит из начала координат и плавно возрастает. График $y=-x^2+1$ — это парабола с вершиной в $(0,1)$ и ветвями вниз. Видно, что графики пересекаются только в одной точке, которая находится в первой координатной четверти. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.

Чтобы найти число корней уравнения $x^3 = \frac{5}{x}$, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{5}{x}$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков. Важно отметить, что из вида уравнения следует $x \neq 0$.

1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y = \frac{5}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График также симметричен относительно начала координат. Составим таблицу значений:

Построим эскизы графиков. В первой четверти ($x>0$) функция $y=x^3$ возрастает, а функция $y=\frac{5}{x}$ убывает. Это означает, что они могут пересечься не более одного раза. Такое пересечение существует, так как при $x=1$ значение кубической параболы (1) меньше значения гиперболы (5), а при $x=2$ значение кубической параболы (8) больше значения гиперболы (2.5). Таким образом, в первой четверти есть одна точка пересечения.
Поскольку обе функции, $y=x^3$ и $y=\frac{5}{x}$, являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Следовательно, если есть точка пересечения в первой четверти, то обязательно есть и симметричная ей точка пересечения в третьей четверти. Таким образом, всего имеется две точки пересечения.

Ответ: 2.