Номер 6, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Найдите три последовательных чётных числа, таких, что сумма квадратов первых двух из них равна квадрату третьего числа.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть $2k$ — меньшее чётное число. Тогда следующие за ним чётные числа $2k+2$ и $2k+4$, их квадраты $(2k)^2$ и $(2k+2)^2$. По условию задачи составим и решим уравнение:

$(2k)^2 + (2k+2)^2 = (2k+4)^2$

$4k^2 + (4k^2 + 8k + 4) = 4k^2 + 16k + 16$

$8k^2 + 8k + 4 = 4k^2 + 16k + 16$

$4k^2 - 8k - 12 = 0$

$k^2 - 2k - 3 = 0$

По теореме Виета:

$k_1 = 3$, $k_2 = -1$

Если $k = 3$, то искомые числа: $2k = 6$, $2k+2 = 8$, $2k+4 = 10$.

Если $k = -1$, то искомые числа: $2k = -2$, $2k+2 = 0$, $2k+4 = 2$.

Значит, искомые числа 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.

Решение. Пусть $2k$ — меньшее чётное число. Тогда следующие за ним чётные числа $2k + 2$ и $2k + 4$, их квадраты $(2k)^2$, $(2k + 2)^2$ и $(2k + 4)^2$. По условию задачи составим и решим уравнение:

$(2k)^2 + (2k+2)^2 = (2k+4)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы:

$4k^2 + (4k^2 + 8k + 4) = 4k^2 + 16k + 16$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$8k^2 + 8k + 4 - 4k^2 - 16k - 16 = 0$

$4k^2 - 8k - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$k^2 - 2k - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $k_1 + k_2 = 2$

Произведение корней: $k_1 \cdot k_2 = -3$

Подбором находим корни: $k_1 = 3$ и $k_2 = -1$.

Значит, существуют две возможные тройки чисел.

1. Если $k = 3$, то искомые числа:

• Первое число: $2k = 2 \cdot 3 = 6$
• Второе число: $2k + 2 = 6 + 2 = 8$
• Третье число: $2k + 4 = 6 + 4 = 10$

Получаем тройку чисел (6, 8, 10). Проверка: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, что равно $10^2$.

2. Если $k = -1$, то искомые числа:

• Первое число: $2k = 2 \cdot (-1) = -2$
• Второе число: $2k + 2 = -2 + 2 = 0$
• Третье число: $2k + 4 = -2 + 4 = 2$

Получаем тройку чисел (-2, 0, 2). Проверка: $(-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$, что равно $2^2$.

Ответ: 6, 8, 10 или -2, 0, 2.