Номер 16, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Упростите:

а) $\sqrt{27a} + \sqrt{75a} - \sqrt{108a} =$

б) $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) - (\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x} =$

в) $(\sqrt{3a} + \sqrt{2b})^2 - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})^2 =$

г) $(\sqrt{c} + \sqrt{7})(c - \sqrt{7c} + 7) =$

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{27a} + \sqrt{75a} - \sqrt{108a}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом из слагаемых. Для этого представим подкоренные числа в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$\sqrt{27a} = \sqrt{9 \cdot 3a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3a} = 3\sqrt{3a}$

$\sqrt{75a} = \sqrt{25 \cdot 3a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3a} = 5\sqrt{3a}$

$\sqrt{108a} = \sqrt{36 \cdot 3a} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3a} = 6\sqrt{3a}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно и приведем подобные слагаемые, так как все они содержат общий множитель $\sqrt{3a}$:

$3\sqrt{3a} + 5\sqrt{3a} - 6\sqrt{3a} = (3 + 5 - 6)\sqrt{3a} = 2\sqrt{3a}$

Ответ: $2\sqrt{3a}$

б) Упростим выражение $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) - (\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x}$ по частям.

Первая часть, $(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5})$, является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{5})^2 = x - 5$

Во второй части, $-(\sqrt{x} - \sqrt{5})\sqrt{x}$, раскроем скобки, умножив $\sqrt{x}$ на каждый член в скобках:

$-(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{x}) = -(x - \sqrt{5x}) = -x + \sqrt{5x}$

Теперь объединим результаты и приведем подобные члены:

$(x - 5) + (-x + \sqrt{5x}) = x - 5 - x + \sqrt{5x} = \sqrt{5x} - 5$

Ответ: $\sqrt{5x} - 5$

в) Выражение $(\sqrt{3a} + \sqrt{2b})^2 - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})^2$ является разностью квадратов вида $X^2 - Y^2$. Применим формулу сокращенного умножения $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$.

В нашем случае $X = \sqrt{3a} + \sqrt{2b}$ и $Y = \sqrt{3a} - \sqrt{2b}$.

Подставим их в формулу и упростим каждую из скобок:
$((\sqrt{3a} + \sqrt{2b}) - (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})) \cdot ((\sqrt{3a} + \sqrt{2b}) + (\sqrt{3a} - \sqrt{2b})) = $
$= (\sqrt{3a} + \sqrt{2b} - \sqrt{3a} + \sqrt{2b}) \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{2b} + \sqrt{3a} - \sqrt{2b}) = $
$= (2\sqrt{2b}) \cdot (2\sqrt{3a})$

Перемножим полученные результаты:

$(2\sqrt{2b}) \cdot (2\sqrt{3a}) = 4\sqrt{2b \cdot 3a} = 4\sqrt{6ab}$

Ответ: $4\sqrt{6ab}$

г) Рассмотрим выражение $(\sqrt{c} + \sqrt{7})(c - \sqrt{7c} + 7)$. Оно соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.

Проверим, подходят ли наши части под эту формулу. Пусть $a = \sqrt{c}$ и $b = \sqrt{7}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{c})^2 = c$, $ab = \sqrt{c}\cdot\sqrt{7} = \sqrt{7c}$ и $b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$.

Вторая скобка в исходном выражении $(c - \sqrt{7c} + 7)$ в точности совпадает с $a^2-ab+b^2$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов, и результат будет равен $a^3+b^3$:

$(\sqrt{c})^3 + (\sqrt{7})^3 = (\sqrt{c})^2 \cdot \sqrt{c} + (\sqrt{7})^2 \cdot \sqrt{7} = c\sqrt{c} + 7\sqrt{7}$

Ответ: $c\sqrt{c} + 7\sqrt{7}$