Номер 15, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Упростите выражение:

a) $(4a^3b^{-2})^2 \cdot 3a^{-5}b^4 =$

б) $(\frac{4x^{-3}}{5y^{-2}})^2 \cdot \frac{15y}{x^{-5}} =$

в) $\frac{15^n}{3^{n+2} \cdot 5^n} =$

г) $\frac{0,5^{-2n} + 0,5^{-3n}}{2^{4n} + 2^{3n}} =$

а)

Для упрощения выражения $(4a^3b^{-2})^2 \cdot 3a^{-5}b^4$ необходимо последовательно выполнить действия, используя свойства степеней.

1. Сначала возведем в квадрат первый множитель $(4a^3b^{-2})^2$. Для этого используем правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(4a^3b^{-2})^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^{-2})^2 = 16 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{-2 \cdot 2} = 16a^6b^{-4}$

2. Теперь умножим полученный результат на второй множитель $3a^{-5}b^4$:

$(16a^6b^{-4}) \cdot (3a^{-5}b^4)$

3. Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(16 \cdot 3) \cdot (a^6 \cdot a^{-5}) \cdot (b^{-4} \cdot b^4)$

4. Выполним умножение в каждой группе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$48 \cdot a^{6+(-5)} \cdot b^{-4+4} = 48 \cdot a^1 \cdot b^0$

5. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($b^0 = 1$), а первая степень числа равна самому числу ($a^1 = a$), получаем конечный результат:

$48 \cdot a \cdot 1 = 48a$

Ответ: $48a$

б)

Для упрощения выражения $(\frac{4x^{-3}}{5y^{-2}})^2 \cdot \frac{15y}{x^{-5}}$ выполним следующие шаги.

1. Возведем в квадрат дробь в скобках, используя правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{4x^{-3}}{5y^{-2}})^2 = \frac{(4x^{-3})^2}{(5y^{-2})^2} = \frac{4^2 \cdot (x^{-3})^2}{5^2 \cdot (y^{-2})^2} = \frac{16x^{-6}}{25y^{-4}}$

2. Умножим полученное выражение на вторую дробь:

$\frac{16x^{-6}}{25y^{-4}} \cdot \frac{15y}{x^{-5}} = \frac{16x^{-6} \cdot 15y^1}{25y^{-4} \cdot x^{-5}}$

3. Сгруппируем коэффициенты и переменные и упростим их. Для деления степеней с одинаковым основанием используем правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Коэффициенты: $\frac{16 \cdot 15}{25} = \frac{16 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{48}{5}$

Переменная $x$: $\frac{x^{-6}}{x^{-5}} = x^{-6 - (-5)} = x^{-6+5} = x^{-1}$

Переменная $y$: $\frac{y^{1}}{y^{-4}} = y^{1 - (-4)} = y^{1+4} = y^5$

4. Объединим все части вместе. Степень $x^{-1}$ можно записать как $\frac{1}{x}$:

$\frac{48}{5} \cdot x^{-1} \cdot y^5 = \frac{48y^5}{5x}$

Ответ: $\frac{48y^5}{5x}$

в)

Упростим выражение $\frac{15^n}{3^{n+2} \cdot 5^n}$.

1. Разложим основание $15$ в числителе на простые множители $3$ и $5$:

$15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n$

2. Преобразуем выражение $3^{n+2}$ в знаменателе, используя свойство $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2$

3. Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{3^n \cdot 5^n}{(3^n \cdot 3^2) \cdot 5^n}$

4. Теперь можно сократить одинаковые множители $3^n$ и $5^n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{3^n} \cdot \cancel{5^n}}{\cancel{3^n} \cdot 3^2 \cdot \cancel{5^n}} = \frac{1}{3^2}$

5. Вычисляем оставшееся значение:

$\frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

г)

Упростим выражение $\frac{0,5^{-2n} + 0,5^{-3n}}{2^{4n} + 2^{3n}}$.

1. Преобразуем десятичную дробь $0,5$ в степень с основанием $2$:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

2. Подставим это значение в числитель и упростим степени:

$0,5^{-2n} = (2^{-1})^{-2n} = 2^{(-1) \cdot (-2n)} = 2^{2n}$

$0,5^{-3n} = (2^{-1})^{-3n} = 2^{(-1) \cdot (-3n)} = 2^{3n}$

3. Теперь все выражение записано через степени с основанием 2:

$\frac{2^{2n} + 2^{3n}}{2^{4n} + 2^{3n}}$

4. Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $2^{2n}$, в знаменателе — $2^{3n}$:

Числитель: $2^{2n} + 2^{3n} = 2^{2n}(1 + 2^{3n-2n}) = 2^{2n}(1 + 2^n)$

Знаменатель: $2^{4n} + 2^{3n} = 2^{3n}(2^{4n-3n} + 1) = 2^{3n}(2^n + 1)$

5. Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{2^{2n}(1 + 2^n)}{2^{3n}(1 + 2^n)}$

6. Сократим общий множитель $(1 + 2^n)$:

$\frac{2^{2n}}{2^{3n}}$

7. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$2^{2n - 3n} = 2^{-n}$

Ответ: $2^{-n}$