Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. Найдите координаты точек пересечения графиков функций

$y = \frac{2x-5}{x-1}$ и $y = \frac{5x-3}{3x+5}$.

6. Для нахождения координат точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части, поскольку в точках пересечения значения $y$ совпадают.

Даны функции: $y = \frac{2x - 5}{x - 1}$ и $y = \frac{5x - 3}{3x + 5}$.

Приравниваем выражения для $y$:
$\frac{2x - 5}{x - 1} = \frac{5x - 3}{3x + 5}$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$3x + 5 \neq 0 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$

Теперь решим уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(2x - 5)(3x + 5) = (5x - 3)(x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$6x^2 + 10x - 15x - 25 = 5x^2 - 5x - 3x + 3$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$6x^2 - 5x - 25 = 5x^2 - 8x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 5x - 25 - 5x^2 + 8x - 3 = 0$
$(6x^2 - 5x^2) + (-5x + 8x) + (-25 - 3) = 0$
$x^2 + 3x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Оба найденных значения $x$ входят в ОДЗ. Теперь найдем соответствующие им значения $y$, подставив каждое значение $x$ в любую из исходных функций. Воспользуемся функцией $y = \frac{2x - 5}{x - 1}$.

Для $x_1 = -7$:
$y_1 = \frac{2(-7) - 5}{-7 - 1} = \frac{-14 - 5}{-8} = \frac{-19}{-8} = \frac{19}{8}$
Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(-7, \frac{19}{8})$.

Для $x_2 = 4$:
$y_2 = \frac{2(4) - 5}{4 - 1} = \frac{8 - 5}{3} = \frac{3}{3} = 1$
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(4, 1)$.

Ответ: $(-7, \frac{19}{8})$, $(4, 1)$.

13. Упростите выражение $\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1}$ и найдите его значение при $x = 10,5$.

1. $\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1}$ .......................

.......................

.......................

Если $x = 10,5$, то .................

Ответ: .....................

Упростите выражение

Исходное выражение: $ \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} : \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x + 1} $.

Первым шагом заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):
$ \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x + 1} $

Далее разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
- Числитель $ x^3 + 1 $ — это сумма кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.
$ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) $
- Знаменатель $ x^2 - 1 $ — это разность квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $
- Выражение $ x^2 - 2x + 1 $ — это квадрат разности: $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $.
$ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1) $

Подставим полученные разложения в наше выражение:
$ \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x-1)}{x^2 - x + 1} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $ (x+1) $, $ (x-1) $ и $ (x^2 - x + 1) $.
$ \frac{\cancel{(x+1)}\cancel{(x^2 - x + 1)}}{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}} \cdot \frac{\cancel{(x-1)}(x-1)}{\cancel{x^2 - x + 1}} = x-1 $

Ответ: $ x-1 $.

Найдите его значение при x = 10,5

Подставим значение $ x = 10,5 $ в упрощенное выражение $ x-1 $:
$ 10,5 - 1 = 9,5 $

Ответ: 9,5.

14. Найдите значение выражения:

а) $x^2 + y^2$, если $x+y=7, xy=5.$

Решение. Так как $(x+y)^2 = .................. ,

то $x^2 + y^2 .......................

б) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если $x + \frac{1}{x}=7,5.$

Решение. Так как $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = ....................... ,

то $x^2 + \frac{1}{x^2}=$ ...................

Ответ: а) ......................... б) .........................

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 + y^2$, используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Эта формула связывает данное нам выражение $x+y$ с искомым $x^2+y^2$.

Из формулы выразим $x^2 + y^2$:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.

Теперь подставим в это равенство известные значения $x + y = 7$ и $xy = 5$:

$x^2 + y^2 = 7^2 - 2 \cdot 5$

Выполним вычисления:

$x^2 + y^2 = 49 - 10 = 39$.

Ответ: 39.

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, поступим аналогично пункту а). Возведем в квадрат известное нам выражение $x + \frac{1}{x}$, используя формулу квадрата суммы.

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Из полученного равенства выразим искомое выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$.

Подставим известное значение $x + \frac{1}{x} = 7,5$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (7,5)^2 - 2$.

Выполним вычисления:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 56,25 - 2 = 54,25$.

Ответ: 54,25.

15. Упростите выражение:

a) $(4a^3b^{-2})^2 \cdot 3a^{-5}b^4 =$

б) $(\frac{4x^{-3}}{5y^{-2}})^2 \cdot \frac{15y}{x^{-5}} =$

в) $\frac{15^n}{3^{n+2} \cdot 5^n} =$

г) $\frac{0,5^{-2n} + 0,5^{-3n}}{2^{4n} + 2^{3n}} =$

а)

Для упрощения выражения $(4a^3b^{-2})^2 \cdot 3a^{-5}b^4$ необходимо последовательно выполнить действия, используя свойства степеней.

1. Сначала возведем в квадрат первый множитель $(4a^3b^{-2})^2$. Для этого используем правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(4a^3b^{-2})^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^{-2})^2 = 16 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{-2 \cdot 2} = 16a^6b^{-4}$

2. Теперь умножим полученный результат на второй множитель $3a^{-5}b^4$:

$(16a^6b^{-4}) \cdot (3a^{-5}b^4)$

3. Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(16 \cdot 3) \cdot (a^6 \cdot a^{-5}) \cdot (b^{-4} \cdot b^4)$

4. Выполним умножение в каждой группе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$48 \cdot a^{6+(-5)} \cdot b^{-4+4} = 48 \cdot a^1 \cdot b^0$

5. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($b^0 = 1$), а первая степень числа равна самому числу ($a^1 = a$), получаем конечный результат:

$48 \cdot a \cdot 1 = 48a$

Ответ: $48a$

б)

Для упрощения выражения $(\frac{4x^{-3}}{5y^{-2}})^2 \cdot \frac{15y}{x^{-5}}$ выполним следующие шаги.

1. Возведем в квадрат дробь в скобках, используя правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{4x^{-3}}{5y^{-2}})^2 = \frac{(4x^{-3})^2}{(5y^{-2})^2} = \frac{4^2 \cdot (x^{-3})^2}{5^2 \cdot (y^{-2})^2} = \frac{16x^{-6}}{25y^{-4}}$

2. Умножим полученное выражение на вторую дробь:

$\frac{16x^{-6}}{25y^{-4}} \cdot \frac{15y}{x^{-5}} = \frac{16x^{-6} \cdot 15y^1}{25y^{-4} \cdot x^{-5}}$

3. Сгруппируем коэффициенты и переменные и упростим их. Для деления степеней с одинаковым основанием используем правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Коэффициенты: $\frac{16 \cdot 15}{25} = \frac{16 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{48}{5}$

Переменная $x$: $\frac{x^{-6}}{x^{-5}} = x^{-6 - (-5)} = x^{-6+5} = x^{-1}$

Переменная $y$: $\frac{y^{1}}{y^{-4}} = y^{1 - (-4)} = y^{1+4} = y^5$

4. Объединим все части вместе. Степень $x^{-1}$ можно записать как $\frac{1}{x}$:

$\frac{48}{5} \cdot x^{-1} \cdot y^5 = \frac{48y^5}{5x}$

Ответ: $\frac{48y^5}{5x}$

в)

Упростим выражение $\frac{15^n}{3^{n+2} \cdot 5^n}$.

1. Разложим основание $15$ в числителе на простые множители $3$ и $5$:

$15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n$

2. Преобразуем выражение $3^{n+2}$ в знаменателе, используя свойство $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2$

3. Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{3^n \cdot 5^n}{(3^n \cdot 3^2) \cdot 5^n}$

4. Теперь можно сократить одинаковые множители $3^n$ и $5^n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{3^n} \cdot \cancel{5^n}}{\cancel{3^n} \cdot 3^2 \cdot \cancel{5^n}} = \frac{1}{3^2}$

5. Вычисляем оставшееся значение:

$\frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

г)

Упростим выражение $\frac{0,5^{-2n} + 0,5^{-3n}}{2^{4n} + 2^{3n}}$.

1. Преобразуем десятичную дробь $0,5$ в степень с основанием $2$:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

2. Подставим это значение в числитель и упростим степени:

$0,5^{-2n} = (2^{-1})^{-2n} = 2^{(-1) \cdot (-2n)} = 2^{2n}$

$0,5^{-3n} = (2^{-1})^{-3n} = 2^{(-1) \cdot (-3n)} = 2^{3n}$

3. Теперь все выражение записано через степени с основанием 2:

$\frac{2^{2n} + 2^{3n}}{2^{4n} + 2^{3n}}$

4. Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $2^{2n}$, в знаменателе — $2^{3n}$:

Числитель: $2^{2n} + 2^{3n} = 2^{2n}(1 + 2^{3n-2n}) = 2^{2n}(1 + 2^n)$

Знаменатель: $2^{4n} + 2^{3n} = 2^{3n}(2^{4n-3n} + 1) = 2^{3n}(2^n + 1)$

5. Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{2^{2n}(1 + 2^n)}{2^{3n}(1 + 2^n)}$

6. Сократим общий множитель $(1 + 2^n)$:

$\frac{2^{2n}}{2^{3n}}$

7. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$2^{2n - 3n} = 2^{-n}$

Ответ: $2^{-n}$