Страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Решите уравнение $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 = \frac{3x-3}{x} + 4$, обозначив $\frac{x-1}{x}$ через $y$.

Дано уравнение:

$$ \left(\frac{x-1}{x}\right)^2 = \frac{3x-3}{x} + 4 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Введем замену переменной, как предложено в условии: $y = \frac{x-1}{x}$.

Преобразуем правую часть уравнения, чтобы выразить ее через $y$. Для этого вынесем общий множитель 3 в числителе:

$$ \frac{3x-3}{x} = \frac{3(x-1)}{x} = 3 \cdot \left(\frac{x-1}{x}\right) = 3y $$

Теперь подставим $y$ в исходное уравнение. Левая часть становится $y^2$, а правая $3y+4$.

$$ y^2 = 3y + 4 $$

Перенесем все члены уравнения в левую сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ y^2 - 3y - 4 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$

Теперь найдем корни для $y$:

$$ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$

$$ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

Мы получили два значения для $y$: $4$ и $-1$. Теперь выполним обратную замену для каждого из них, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: y = 4

Подставляем значение $y$ в уравнение замены:

$$ \frac{x-1}{x} = 4 $$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$$ x-1 = 4x $$

$$ 4x - x = -1 $$

$$ 3x = -1 $$

$$ x_1 = -\frac{1}{3} $$

Случай 2: y = -1

Подставляем второе значение $y$ в уравнение замены:

$$ \frac{x-1}{x} = -1 $$

Умножим обе части на $x$:

$$ x-1 = -x $$

$$ 2x = 1 $$

$$ x_2 = \frac{1}{2} $$

Оба найденных корня, $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$, не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{2}$.

10. Решите уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4,5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 5$. Продолжите решение.

Решение.

Введём новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $t^2 = $

$=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$; отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$............

Продолжим решение, начатое в условии. Исходное уравнение: $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4,5(x + \frac{1}{x}) - 5$.

Введена замена $t = x + \frac{1}{x}$. Как показано, выражение в левой части уравнения равно $t^2$, так как $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Подставим новую переменную $t$ в исходное уравнение:

$t^2 = 4,5t - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 4,5t + 5 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2t^2 - 9t + 10 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1. При $t = 2,5$:

$x + \frac{1}{x} = 2,5$

Умножим обе части уравнения на $x$ (отметим, что $x \neq 0$, иначе исходное уравнение не имеет смысла):

$x^2 + 1 = 2,5x$

$x^2 - 2,5x + 1 = 0$

Снова умножим на 2 для удобства:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Корни для $x$:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

2. При $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень:

$x_3 = 1$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: $0,5$, $1$ и $2$.

Ответ: $0,5; 1; 2$.

1. Решите уравнение:

а) $8x^2 = (2x - 3)(4x + 3) + 30;$

б) $(2x - 1)(2x + 1) - 4x(x + 3) = 23;$

в) $\frac{4x - 5}{6} - \frac{3x - 2}{4} = \frac{2x - 5}{3};$

г) $\frac{7x - 3}{12} - \frac{4x + 9}{15} = x - 7.$

Ответ:

а) б) в) г)

а) $8x^2 = (2x - 3)(4x + 3) + 30$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:

$(2x - 3)(4x + 3) = 2x \cdot 4x + 2x \cdot 3 - 3 \cdot 4x - 3 \cdot 3 = 8x^2 + 6x - 12x - 9 = 8x^2 - 6x - 9$.

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

$8x^2 = (8x^2 - 6x - 9) + 30$

Упростим правую часть:

$8x^2 = 8x^2 - 6x + 21$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены оставим в правой. Обратите внимание, что $8x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$8x^2 - 8x^2 + 6x = 21$

$6x = 21$

Найдем $x$, разделив обе части на 6:

$x = \frac{21}{6}$

Сократим дробь:

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $3.5$.

б) $(2x - 1)(2x + 1) - 4x(x + 3) = 23$

Раскроем скобки. Первая пара скобок представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2x)^2 - 1^2 - 4x(x + 3) = 23$

$4x^2 - 1 - 4x^2 - 12x = 23$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются:

$-12x - 1 = 23$

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-12x = 23 + 1$

$-12x = 24$

Найдем $x$, разделив обе части на -12:

$x = \frac{24}{-12}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

в) $\frac{4x - 5}{6} - \frac{3x - 2}{4} = \frac{2x - 5}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель для чисел 6, 4 и 3. Наименьшее общее кратное (НОК) для 6, 4 и 3 равно 12.

$12 \cdot \frac{4x - 5}{6} - 12 \cdot \frac{3x - 2}{4} = 12 \cdot \frac{2x - 5}{3}$

Выполним сокращение:

$2(4x - 5) - 3(3x - 2) = 4(2x - 5)$

Раскроем скобки:

$8x - 10 - 9x + 6 = 8x - 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x - 4 = 8x - 20$

Перенесем все члены с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$20 - 4 = 8x + x$

$16 = 9x$

Найдем $x$:

$x = \frac{16}{9}$

Ответ: $\frac{16}{9}$.

г) $\frac{7x - 3}{12} - \frac{4x + 9}{15} = x - 7$

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 15. НОК(12, 15) = 60. Умножим обе части уравнения на 60:

$60 \cdot \frac{7x - 3}{12} - 60 \cdot \frac{4x + 9}{15} = 60(x - 7)$

Выполним сокращение:

$5(7x - 3) - 4(4x + 9) = 60(x - 7)$

Раскроем скобки:

$35x - 15 - 16x - 36 = 60x - 420$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$19x - 51 = 60x - 420$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$420 - 51 = 60x - 19x$

$369 = 41x$

Найдем $x$, разделив 369 на 41:

$x = \frac{369}{41}$

$x = 9$

Ответ: $9$.

2. Найдите корни уравнения:

а) $5x^2 - 4x = 0;$

б) $7y^2 - 0,28 = 0;$

в) $x^2 - 5,5x + 7 = 0;$

г) $3x^2 - 5x + 4 = 0.$

Ответ:

а) .....................

б) .....................

в) .....................

г) .....................

а) $5x^2 - 4x = 0$
Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x - 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:
1) $x = 0$
2) $5x - 4 = 0 \implies 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5} = 0,8$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; 0,8.

б) $7y^2 - 0,28 = 0$
Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует член с первой степенью переменной. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$7y^2 = 0,28$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $y^2$, то есть на 7:
$y^2 = \frac{0,28}{7}$
$y^2 = 0,04$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак "плюс-минус":
$y = \pm\sqrt{0,04}$
$y_1 = 0,2$ и $y_2 = -0,2$
Ответ: -0,2; 0,2.

в) $x^2 - 5,5x + 7 = 0$
Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-5,5$, $c=7$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 30,25 - 28 = 2,25$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2,25} = 1,5$
$x_1 = \frac{-(-5,5) - 1,5}{2 \cdot 1} = \frac{5,5 - 1,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5,5) + 1,5}{2 \cdot 1} = \frac{5,5 + 1,5}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$
Ответ: 2; 3,5.

г) $3x^2 - 5x + 4 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-5$, $c=4$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.