Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Решите уравнение:

$\frac{8}{x^2-4} - \frac{x}{x-2} = \frac{5}{x+2}$; $8 - x(x+2) = 5(x-2)$; $8 - x^2 - 2x = 5x - 10$;

$8 - x^2 - 2x - 5x + 10 = 0$; $-x^2 - 7x + 18 = 0$; $x^2 + 7x - 18 = 0$;

$D = 49 + 72 = 121$, $x = \frac{-7 \pm 11}{2}$, $x_1 = 2$, $x_2 = -9$.

Если $x=2$, то $x^2-4=0$. Значит, 2 не является корнем исходного уравнения.

Если $x=-9$, то $x^2-4 \ne 0$. Значит, $-9$ — корень уравнения.

Ответ: $-9$.

a) $\frac{x+11}{x^2-1} - \frac{x-1}{1+x} + 4 = \frac{2x+14}{x+1}$;

б) $\frac{2}{y^2-4} + \frac{y-4}{y^2+2y} = \frac{1}{y^2-2y}$;

в) $\frac{2}{x-3} + \frac{3}{x-2} - \frac{15}{x^2-5x+6} = -\frac{1}{2}$.

а) Исходное уравнение: $ \frac{x+11}{x^2 - 1} - \frac{x-1}{1+x} + 4 = \frac{2x+14}{x+1} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. $ x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $. $ 1+x \neq 0 \implies x \neq -1 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} $.
Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) $:
$ \frac{x+11}{(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{4(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(2x+14)(x-1)}{(x-1)(x+1)} $
Поскольку в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числители:
$ x+11 - (x-1)^2 + 4(x^2-1) = (2x+14)(x-1) $
Раскроем скобки:
$ x+11 - (x^2 - 2x + 1) + 4x^2 - 4 = 2x^2 - 2x + 14x - 14 $
$ x+11 - x^2 + 2x - 1 + 4x^2 - 4 = 2x^2 + 12x - 14 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 3x^2 + 3x + 6 = 2x^2 + 12x - 14 $
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$ 3x^2 - 2x^2 + 3x - 12x + 6 + 14 = 0 $
$ x^2 - 9x + 20 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Легко подобрать корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = 5 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как не равны $1$ и $-1$.
Ответ: $4; 5$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{2}{y^2 - 4} + \frac{y-4}{y^2 + 2y} = \frac{1}{y^2 - 2y} $
Найдем ОДЗ. Для этого разложим знаменатели на множители:
$ y^2 - 4 = (y-2)(y+2) $
$ y^2 + 2y = y(y+2) $
$ y^2 - 2y = y(y-2) $
Знаменатели не должны равняться нулю, следовательно, $ y \neq 0, y \neq 2, y \neq -2 $.
ОДЗ: $ y \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\} $.
Приведем все дроби к общему знаменателю $ y(y-2)(y+2) $ и перенесем все члены в одну сторону:
$ \frac{2y}{y(y-2)(y+2)} + \frac{(y-4)(y-2)}{y(y-2)(y+2)} - \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} = 0 $
Решим уравнение для числителя:
$ 2y + (y-4)(y-2) - (y+2) = 0 $
$ 2y + y^2 - 2y - 4y + 8 - y - 2 = 0 $
$ y^2 - 5y + 6 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение $6$. Корни уравнения: $ y_1 = 2, y_2 = 3 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ y_1=2 $ не входит в ОДЗ, значит, это посторонний корень. Корень $ y_2=3 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x-3} + \frac{3}{x-2} - \frac{15}{x^2 - 5x + 6} = -\frac{1}{2} $
Найдем ОДЗ. Разложим знаменатель $ x^2 - 5x + 6 $ на множители. Корнями уравнения $ z^2-5z+6=0 $ являются $ z=2 $ и $ z=3 $, поэтому $ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) $.
Знаменатели не равны нулю, если $ x \neq 2 $ и $ x \neq 3 $.
ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} $.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $ (x-2)(x-3) $:
$ \frac{2(x-2)}{(x-2)(x-3)} + \frac{3(x-3)}{(x-2)(x-3)} - \frac{15}{(x-2)(x-3)} = -\frac{1}{2} $
$ \frac{2x - 4 + 3x - 9 - 15}{x^2 - 5x + 6} = -\frac{1}{2} $
$ \frac{5x - 28}{x^2 - 5x + 6} = -\frac{1}{2} $
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 2(5x - 28) = -1(x^2 - 5x + 6) $
$ 10x - 56 = -x^2 + 5x - 6 $
Перенесем все члены в левую часть:
$ x^2 + 10x - 5x - 56 + 6 = 0 $
$ x^2 + 5x - 50 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 15}{2} $
$ x_1 = \frac{-5 + 15}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
$ x_2 = \frac{-5 - 15}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $
Оба корня, $5$ и $-10$, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-10; 5$.

11. Упростите выражение:

a) $ \frac{3y(3y - x)}{2(x^2 - y^2)} - \frac{3x}{2(x - y)} + \frac{3y}{x + y} = \dots $

б) $ \frac{x^2 + 8}{x^3 - 8} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2} = \dots $

а)

Исходное выражение: $ \frac{3y(3y - x)}{2(x^2 - y^2)} - \frac{3x}{2(x - y)} + \frac{3y}{x + y} $

Первым шагом разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{3y(3y - x)}{2(x - y)(x + y)} - \frac{3x}{2(x - y)} + \frac{3y}{x + y} $

Общий знаменатель для всех дробей — это $2(x - y)(x + y)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для второй дроби дополнительный множитель будет $(x+y)$, а для третьей — $2(x-y)$.

$ \frac{3y(3y - x)}{2(x - y)(x + y)} - \frac{3x(x + y)}{2(x - y)(x + y)} + \frac{3y \cdot 2(x - y)}{2(x - y)(x + y)} $

Объединим дроби под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3y(3y - x) - 3x(x + y) + 6y(x - y)}{2(x - y)(x + y)} = \frac{9y^2 - 3xy - (3x^2 + 3xy) + (6xy - 6y^2)}{2(x - y)(x + y)} $

$ = \frac{9y^2 - 3xy - 3x^2 - 3xy + 6xy - 6y^2}{2(x - y)(x + y)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (9y^2 - 6y^2) - 3x^2 + (-3xy - 3xy + 6xy) = 3y^2 - 3x^2 + 0 = 3y^2 - 3x^2 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{3y^2 - 3x^2}{2(x - y)(x + y)} $

Вынесем в числителе общий множитель $-3$:

$ \frac{-3(-y^2 + x^2)}{2(x - y)(x + y)} = \frac{-3(x^2 - y^2)}{2(x^2 - y^2)} $

Сократим дробь на $(x^2 - y^2)$, при условии что $x \ne y$ и $x \ne -y$:

$ -\frac{3}{2} $

Ответ: $ -\frac{3}{2} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 8}{x^3 - 8} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{x^2 + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2} $

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для второй дроби дополнительный множитель будет $(x-2)$, а для третьей — $(x^2 + 2x + 4)$.

$ \frac{x^2 + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{1(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Объединим дроби под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(x^2 + 8) + (x^2 - 2x) - (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{x^2 + 8 + x^2 - 2x - x^2 - 2x - 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (x^2 + x^2 - x^2) + (-2x - 2x) + (8 - 4) = x^2 - 4x + 4 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Числитель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

$ \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $

Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$, при условии что $x \ne 2$:

$ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} $

Ответ: $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} $

12. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{15(x - 2y)^2}{x^4 - 16y^4} : \frac{5x^2 - 10x}{x^2 + 4y^2} =$

б) $\frac{x^3 - y^3}{2x^2 - 2y^2} \cdot \frac{4x + 4y}{5x^2 + 5xy + 5y^2} =$

a)

Исходное выражение: $ \frac{15(x - 2y)^2}{x^4 - 16y^4} : \frac{5x^2 - 10x}{x^2 + 4y^2} $.

Предположим, что в числителе второй дроби допущена опечатка, и вместо $5x^2 - 10x$ должно быть $5x^2 - 10xy$. Это предположение делает возможным значительное упрощение выражения, что обычно и требуется в подобных задачах.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{15(x - 2y)^2}{x^4 - 16y^4} \cdot \frac{x^2 + 4y^2}{5x^2 - 10xy} $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Знаменатель первой дроби $x^4 - 16y^4$ является разностью квадратов: $ x^4 - 16y^4 = (x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2) = (x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2) $.

Знаменатель второй дроби (исходный числитель) $5x^2 - 10xy$ раскладывается вынесением общего множителя $5x$: $ 5x^2 - 10xy = 5x(x - 2y) $.

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$ \frac{15(x - 2y)^2}{(x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2)} \cdot \frac{x^2 + 4y^2}{5x(x - 2y)} $

Объединим в одну дробь и сгруппируем множители для удобства сокращения:

$ \frac{15(x - 2y)^2(x^2 + 4y^2)}{5x(x - 2y)(x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2)} = \frac{15(x - 2y)^2(x^2 + 4y^2)}{5x(x - 2y)^2(x + 2y)(x^2 + 4y^2)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{15}^3 \cancel{(x - 2y)^2} \cancel{(x^2 + 4y^2)}}{\cancel{5}x \cancel{(x - 2y)^2} (x + 2y) \cancel{(x^2 + 4y^2)}} = \frac{3}{x(x + 2y)} $

Ответ: $ \frac{3}{x(x + 2y)} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x^3 - y^3}{2x^2 - 2y^2} \cdot \frac{4x + 4y}{5x^2 + 5xy + 5y^2} $.

Для упрощения этого выражения разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Числитель первой дроби $x^3 - y^3$ — это разность кубов: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $.

Знаменатель первой дроби $2x^2 - 2y^2$ — выносим 2 и применяем формулу разности квадратов: $ 2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) = 2(x - y)(x + y) $.

Числитель второй дроби $4x + 4y$ — выносим 4: $ 4x + 4y = 4(x + y) $.

Знаменатель второй дроби $5x^2 + 5xy + 5y^2$ — выносим 5: $ 5x^2 + 5xy + 5y^2 = 5(x^2 + xy + y^2) $.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в исходное произведение:

$ \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{2(x - y)(x + y)} \cdot \frac{4(x + y)}{5(x^2 + xy + y^2)} $

Объединим все в одну дробь для сокращения:

$ \frac{4(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)}{2 \cdot 5 (x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{4}^2 \cancel{(x - y)} \cancel{(x + y)} \cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{\cancel{2} \cdot 5 \cancel{(x - y)} \cancel{(x + y)} \cancel{(x^2 + xy + y^2)}} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $