Страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. Найдите корни уравнения, используя введение новой переменной:

а) $(x^2 + 1)^2 - 6(x^2 + 1) + 8 = 0;$

б) $(x^2 - 3)^2 = (x^2 - 3) + 2.$

а) Исходное уравнение: $(x^2 + 1)^2 - 6(x^2 + 1) + 8 = 0$.
Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2+1)$. Чтобы его решить, введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 1$.
После замены переменной уравнение примет вид квадратного уравнения: $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. Подставим $t_1 = 4$:
$x^2 + 1 = 4$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
2. Подставим $t_2 = 2$:
$x^2 + 1 = 2$
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1} = \pm1$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3}$.

б) Исходное уравнение: $(x^2 - 3)^2 = (x^2 - 3) + 2$.
Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид:
$(x^2 - 3)^2 - (x^2 - 3) - 2 = 0$.
Введем новую переменную. Пусть $y = x^2 - 3$.
Подставив новую переменную в уравнение, получим квадратное уравнение:
$y^2 - y - 2 = 0$.
Решим его относительно $y$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
1. Подставим $y_1 = 2$:
$x^2 - 3 = 2$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$.
2. Подставим $y_2 = -1$:
$x^2 - 3 = -1$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{5}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{5}$.

7. Решите биквадратное уравнение:

a) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

б) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0.$

а) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, мы должны учесть, что $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба найденных значения для $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$ (так как $9 > 0$ и $4 > 0$).

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Для $t_1 = 9$ получаем уравнение $x^2 = 9$. Его корни $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Для $t_2 = 4$ получаем уравнение $x^2 = 4$. Его корни $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3, -2, 2, 3$.

б) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 7t - 8 = 0$

Решим его. Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge 0$.

Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию, так как $-8 < 0$. Этот корень является посторонним, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 1$:

$x^2 = 1$

Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1, 1$.

8. При каких значениях $a$ равны значения выражений $\frac{a^4 + 2a^3}{3}$ и $a^2 - 30?$

Для того чтобы найти значения a, при которых значения выражений равны, приравняем их друг к другу:

$\frac{a^4 + 2a^3}{3} = a^2 - 30$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$a^4 + 2a^3 = 3(a^2 - 30)$

$a^4 + 2a^3 = 3a^2 - 90$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить многочлен, равный нулю:

$a^4 + 2a^3 - 3a^2 + 90 = 0$

Теперь проанализируем левую часть уравнения. Вынесем $a^2$ за скобки у первых трех слагаемых:

$a^2(a^2 + 2a - 3) + 90 = 0$

Разложим квадратный трехчлен $a^2 + 2a - 3$ на множители. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни равны 1 и -3. Таким образом, $a^2 + 2a - 3 = (a-1)(a+3)$.

Уравнение принимает вид:

$a^2(a-1)(a+3) + 90 = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $(a-1)(a+3)$.

Случай 1: $a$ находится в промежутках $(-\infty, -3]$ или $[1, \infty)$.

В этих промежутках произведение $(a-1)(a+3)$ является неотрицательным, то есть $(a-1)(a+3) \ge 0$.

Поскольку $a^2$ также всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то и все первое слагаемое $a^2(a-1)(a+3)$ будет неотрицательным.

Следовательно, вся левая часть уравнения представляет собой сумму неотрицательного числа и 90:

$a^2(a-1)(a+3) + 90 \ge 0 + 90 = 90$

Значение левой части строго больше нуля, поэтому в этих промежутках уравнение решений не имеет.

Случай 2: $a$ находится в промежутке $(-3, 1)$.

В этом интервале произведение $(a-1)(a+3)$ отрицательно. Следовательно, слагаемое $a^2(a-1)(a+3)$ будет отрицательным или равным нулю (при $a=0$).

Нам нужно проверить, может ли выражение $a^2(a-1)(a+3) + 90$ стать равным нулю. Это произойдет, если $a^2(a-1)(a+3) = -90$.

Можно показать (используя методы математического анализа, выходящие за рамки школьной программы 8-го класса), что минимальное значение выражения $a^4 + 2a^3 - 3a^2$ достигается в этом интервале и равно примерно $-12.36$.

Поскольку минимальное значение первого слагаемого ($ \approx -12.36$) по модулю значительно меньше 90, сумма $a^2(a-1)(a+3) + 90$ всегда будет положительной. Наименьшее значение всего выражения будет примерно $-12.36 + 90 = 77.64$, что далеко от нуля.

Таким образом, левая часть уравнения $a^4 + 2a^3 - 3a^2 + 90$ всегда положительна при любых действительных значениях a. А значит, она никогда не может быть равна нулю.

Ответ: Таких значений a не существует.

14. Решите задачу:

a) К 400 мл 30 %-го раствора кислоты добавили 100 мл воды. Какой стала концентрация кислоты?

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. .........................

.........................

б) Некоторое количество 25 %-го раствора кислоты смешали с таким же количеством 35 %-го раствора этой же кислоты. Какова концентрация получившегося раствора?

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. .........................

.........................

в) Имеется два сорта молока — жирностью 3,5 % и 6 %. Их смешали в отношении 4 : 1. Какова жирность получившегося молока?

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение. .........................

.........................

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) .........................

Заполненная таблица:

Решение:

1. Найдем количество чистой кислоты в исходном 30%-ом растворе. Для этого умножим общий объем раствора на его концентрацию (в долях):
$400 \text{ мл} \times 0.3 = 120 \text{ мл}$

2. К раствору добавили 100 мл воды. Объем чистой кислоты при этом не изменился и остался равным 120 мл. Общий объем нового раствора стал:
$400 \text{ мл} + 100 \text{ мл} = 500 \text{ мл}$

3. Теперь найдем новую концентрацию кислоты. Для этого разделим объем чистой кислоты на новый общий объем раствора:
$\frac{120 \text{ мл}}{500 \text{ мл}} = 0.24$

4. Чтобы выразить концентрацию в процентах, умножим полученное значение на 100:
$0.24 \times 100\% = 24\%$

Ответ: 24 %.

Заполненная таблица:

Решение:

1. Пусть объем каждого из растворов равен $a$.

2. Найдем количество чистой кислоты в первом растворе (25%-ом):
$a \times 0.25 = 0.25a$

3. Найдем количество чистой кислоты во втором растворе (35%-ом):
$a \times 0.35 = 0.35a$

4. При смешивании общий объем нового раствора станет суммой объемов исходных растворов:
$a + a = 2a$

5. Общее количество чистой кислоты в новом растворе будет суммой количеств кислоты из исходных растворов:
$0.25a + 0.35a = 0.60a$

6. Найдем концентрацию получившегося раствора, разделив общее количество кислоты на общий объем:
$\frac{0.60a}{2a} = 0.30$

7. Выразим концентрацию в процентах:
$0.30 \times 100\% = 30\%$

Ответ: 30 %.

Заполненная таблица:

Решение:

1. Молоко двух сортов смешали в отношении 4:1. Пусть взяли $x$ единиц молока 6%-ой жирности, тогда молока 3,5%-ой жирности взяли $4x$ единиц.

2. Найдем количество чистого жира в молоке первого сорта (3,5%-ом):
$4x \times 0.035 = 0.14x \text{ ед.}$

3. Найдем количество чистого жира в молоке второго сорта (6%-ом):
$x \times 0.06 = 0.06x \text{ ед.}$

4. Общее количество молока в смеси составляет:
$4x + x = 5x \text{ ед.}$

5. Общее количество чистого жира в смеси составляет:
$0.14x + 0.06x = 0.20x \text{ ед.}$

6. Найдем жирность (концентрацию) получившегося молока, разделив общее количество жира на общее количество молока:
$\frac{0.20x}{5x} = 0.04$

7. Выразим жирность в процентах:
$0.04 \times 100\% = 4\%$

Ответ: 4 %.