Страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

12. Пересекает ли параболу $y=-(x-2)^2+4$ прямая:

a) $y=-5$;

б) $y=8$;

в) $y=-60$;

г) $y=x$?

При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.

Ответ:

a) .....................

б) .....................

в) .....................

г) .....................

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, нужно решить систему уравнений. Уравнение параболы: $y = -(x - 2)^2 + 4$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями, направленными вниз. Максимальное значение функции $y$ равно 4.

а) Проверим пересечение с прямой $y = -5$.

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-(x - 2)^2 + 4 = -5$
$-(x - 2)^2 = -5 - 4$
$-(x - 2)^2 = -9$
$(x - 2)^2 = 9$
$x - 2 = \pm\sqrt{9}$
$x - 2 = \pm3$

Находим два значения $x$:
$x_1 = 3 + 2 = 5$
$x_2 = -3 + 2 = -1$

Так как $y$ для всех точек на этой прямой равен -5, координаты точек пересечения: $(5, -5)$ и $(-1, -5)$.
Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(5, -5)$ и $(-1, -5)$.

б) Проверим пересечение с прямой $y = 8$.

Максимальное значение для параболы $y = -(x - 2)^2 + 4$ равно 4 (в вершине). Поскольку $8 > 4$, прямая $y = 8$ проходит выше вершины параболы и не может ее пересекать.
Алгебраическая проверка:
$-(x - 2)^2 + 4 = 8$
$-(x - 2)^2 = 4$
$(x - 2)^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: Нет, не пересекает.

в) Проверим пересечение с прямой $y = -60$.

Приравняем правые части уравнений:
$-(x - 2)^2 + 4 = -60$
$-(x - 2)^2 = -60 - 4$
$-(x - 2)^2 = -64$
$(x - 2)^2 = 64$
$x - 2 = \pm\sqrt{64}$
$x - 2 = \pm8$

Находим два значения $x$:
$x_1 = 8 + 2 = 10$
$x_2 = -8 + 2 = -6$

Координаты точек пересечения: $(10, -60)$ и $(-6, -60)$.
Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(10, -60)$ и $(-6, -60)$.

г) Проверим пересечение с прямой $y = x$.

Приравняем правые части уравнений:
$-(x - 2)^2 + 4 = x$
$-(x^2 - 4x + 4) + 4 = x$
$-x^2 + 4x - 4 + 4 = x$
$-x^2 + 4x = x$
$-x^2 + 3x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$

Находим два значения $x$:
$x_1 = 0$
$x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y=x$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$.
При $x_2 = 3$, $y_2 = 3$.

Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.
Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

1. Заполните таблицу.

Уравнение параболы

Координаты вершины A(m; n)

$m = -\frac{b}{2a}$

$n = f(m)$

Направление ветвей

$f(x) = x^2 + 6x - 1$

$m = -\frac{6}{2} = -3$

$n = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) - 1 = -10$

вверх

$f(x) = x^2 - 12x + 1$

$f(x) = -x^2 + 8x - 2$

$f(x) = -x^2 - 2x + 4$

$f(x) = x^2 + 4x - 6$

Для заполнения таблицы необходимо для каждой квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ найти координаты вершины параболы A(m; n) и определить направление её ветвей.

• Координаты вершины находятся по формулам: $m = -\frac{b}{2a}$ и $n = f(m)$.
• Направление ветвей зависит от знака коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.

f(x) = x^2 - 12x + 1

Для данной параболы коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 1$.

1. Найдем абсциссу вершины (m):
$m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.

2. Найдем ординату вершины (n), подставив значение m в уравнение параболы:
$n = f(6) = (6)^2 - 12 \cdot 6 + 1 = 36 - 72 + 1 = -35$.

3. Определим направление ветвей:
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: $m = 6$, $n = -35$, направление ветвей – вверх.

f(x) = -x^2 + 8x - 2

Для данной параболы коэффициенты: $a = -1$, $b = 8$, $c = -2$.

1. Найдем абсциссу вершины (m):
$m = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.

2. Найдем ординату вершины (n):
$n = f(4) = -(4)^2 + 8 \cdot 4 - 2 = -16 + 32 - 2 = 14$.

3. Определим направление ветвей:
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: $m = 4$, $n = 14$, направление ветвей – вниз.

f(x) = -x^2 - 2x + 4

Для данной параболы коэффициенты: $a = -1$, $b = -2$, $c = 4$.

1. Найдем абсциссу вершины (m):
$m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.

2. Найдем ординату вершины (n):
$n = f(-1) = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$.

3. Определим направление ветвей:
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: $m = -1$, $n = 5$, направление ветвей – вниз.

f(x) = x^2 + 4x - 6

Для данной параболы коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = -6$.

1. Найдем абсциссу вершины (m):
$m = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$.

2. Найдем ординату вершины (n):
$n = f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 6 = 4 - 8 - 6 = -10$.

3. Определим направление ветвей:
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: $m = -2$, $n = -10$, направление ветвей – вверх.

9. В геометрической прогрессии первый член равен $\frac{1}{8}$, а третий равен $\frac{1}{2}$. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

Рассмотрите случаи:

а) все члены прогрессии положительны;

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные члены.

Пусть $b_n$ - n-й член геометрической прогрессии, $q$ - ее знаменатель. По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{8}$, а третий член $b_3 = \frac{1}{2}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Используя эту формулу для третьего члена, получаем: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$. Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель $q$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot q^2$

Отсюда выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{1}{2} : \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = 4$

Из этого уравнения следует, что знаменатель прогрессии может принимать два значения: $q = 2$ или $q = -2$. Рассмотрим оба случая, указанные в задаче.

а) все члены прогрессии положительны;

Для того чтобы все члены прогрессии были положительными, при положительном первом члене ($b_1 = \frac{1}{8} > 0$) знаменатель $q$ также должен быть положительным. Следовательно, в этом случае мы выбираем $q = 2$.

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии найдем по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Нам нужно найти сумму первых восьми членов ($n=8$):

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{1} = \frac{1}{8} \cdot 255 = \frac{255}{8}$.

Это значение можно также представить в виде смешанной дроби $31\frac{7}{8}$.

Ответ: $S_8 = \frac{255}{8}$

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные члены.

Если знаки членов прогрессии чередуются, то при положительном первом члене ($b_1 = \frac{1}{8} > 0$) знаменатель $q$ должен быть отрицательным. Следовательно, в этом случае мы выбираем $q = -2$.

Используем ту же формулу для суммы первых восьми членов:

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}((-2)^8 - 1)}{-2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{-3} = \frac{\frac{255}{8}}{-3} = -\frac{255}{8 \cdot 3}$.

Сократим дробь на 3 ($255 : 3 = 85$):

$S_8 = -\frac{85}{8}$.

Это значение можно также представить в виде смешанной дроби $-10\frac{5}{8}$.

Ответ: $S_8 = -\frac{85}{8}$

10. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии ($b_n$), если известно, что $\frac{b_1+b_2}{b_2+b_3} = 2$ и сумма первых трех членов равна 10,5.

Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, каждый член прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на $q$. Таким образом, мы можем выразить $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Используем первое условие задачи: $\frac{b_1 + b_2}{b_2 + b_3} = 2$.
Подставим в это уравнение выражения для $b_2$ и $b_3$:
$\frac{b_1 + b_1q}{b_1q + b_1q^2} = 2$
В числителе и знаменателе вынесем за скобки общие множители:
$\frac{b_1(1 + q)}{b_1q(1 + q)} = 2$
Поскольку сумма первых трёх членов прогрессии равна 10,5, то $b_1 \neq 0$. Также, если $q = -1$, знаменатель дроби $b_2 + b_3$ обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, мы можем сократить дробь на $b_1$ и $(1 + q)$:
$\frac{1}{q} = 2$
Отсюда находим знаменатель прогрессии:
$q = \frac{1}{2}$

Теперь используем второе условие: сумма первых трёх членов равна 10,5.
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 10,5$
Выразим эту сумму через $b_1$ и $q$:
$b_1(1 + q + q^2) = 10,5$
Подставим найденное значение $q = \frac{1}{2}$:
$b_1(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 10,5$
$b_1(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 10,5$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$b_1(\frac{4 + 2 + 1}{4}) = 10,5$
$b_1(\frac{7}{4}) = 10,5$
Выразим $b_1$:
$b_1 = 10,5 \cdot \frac{4}{7}$
Представим 10,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{21}{2}$:
$b_1 = \frac{21}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{21 \cdot 4}{2 \cdot 7} = 3 \cdot 2 = 6$

Мы нашли первый член прогрессии $b_1 = 6$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Теперь можем найти сумму первых восьми членов прогрессии $S_8$.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$
Подставим наши значения $n=8$, $b_1=6$ и $q=\frac{1}{2}$:
$S_8 = \frac{6(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}}$
Сначала вычислим $(\frac{1}{2})^8$:
$(\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$
Теперь подставим это значение в формулу:
$S_8 = \frac{6(1 - \frac{1}{256})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{6(\frac{255}{256})}{\frac{1}{2}}$
Чтобы разделить на $\frac{1}{2}$, умножим на 2:
$S_8 = 6 \cdot \frac{255}{256} \cdot 2 = 12 \cdot \frac{255}{256}$
Сократим полученное выражение на 4:
$S_8 = 3 \cdot \frac{255}{64} = \frac{3 \cdot 255}{64} = \frac{765}{64}$

Ответ: $\frac{765}{64}$