Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. График функции $y = 3x^2$ сдвинули на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз. График какой функции получили?

Ответ:

1. Для того чтобы найти уравнение функции, график которой получен сдвигом графика исходной функции, нужно последовательно применить правила преобразования графиков.

Исходная функция задана уравнением $y = 3x^2$.

Шаг 1: Сдвиг вправо на 2 единицы.

Общее правило для сдвига графика функции $y = f(x)$ на $a$ единиц вправо заключается в замене аргумента $x$ на $(x - a)$. В нашем случае $a = 2$.

Применяем это правило к нашей функции:

$y = 3(x - 2)^2$

Это уравнение параболы, сдвинутой на 2 единицы вправо.

Шаг 2: Сдвиг вниз на 5 единиц.

Общее правило для сдвига графика функции $y = g(x)$ на $b$ единиц вниз заключается в вычитании числа $b$ из всей функции: $y = g(x) - b$. В нашем случае $b = 5$, а в качестве $g(x)$ выступает функция, полученная на первом шаге: $g(x) = 3(x - 2)^2$.

Применяем второе правило:

$y = 3(x - 2)^2 - 5$

Это и есть искомое уравнение функции.

Ответ: $y = 3(x - 2)^2 - 5$

2. На рисунках изображены графики функций $y = 1,5x^2 + 2$, $y = 1,5(x + 2)^2$, $y = -1,5x^2 - 2$ и $y = -1,5(x - 2)^2$. Около каждого графика напишите соответствующую формулу.

Для решения этой задачи необходимо сопоставить каждую из предложенных квадратичных функций с ее графиком. Все функции представляют собой параболы. Вспомним, как вид уравнения параболы связан с ее расположением на координатной плоскости.

Общий вид уравнения параболы в вершинной форме: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты вершины параболы.

• Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• $(x_0, y_0)$ — это точка вершины, которая является точкой минимума (если ветви вверх) или максимума (если ветви вниз).

Проанализируем каждую из четырех заданных функций:

1. $y = 1,5x^2 + 2$: Это парабола с коэффициентом $a = 1,5 > 0$, следовательно, ее ветви направлены вверх. Уравнение можно представить в виде $y = 1,5(x - 0)^2 + 2$, откуда видно, что вершина находится в точке $(0, 2)$.
2. $y = 1,5(x + 2)^2$: Это парабола с коэффициентом $a = 1,5 > 0$, ее ветви направлены вверх. Уравнение можно представить как $y = 1,5(x - (-2))^2 + 0$, значит, вершина находится в точке $(-2, 0)$.
3. $y = -1,5x^2 - 2$: Это парабола с коэффициентом $a = -1,5 < 0$, ее ветви направлены вниз. Уравнение можно представить в виде $y = -1,5(x - 0)^2 - 2$, вершина находится в точке $(0, -2)$.
4. $y = -1,5(x - 2)^2$: Это парабола с коэффициентом $a = -1,5 < 0$, ее ветви направлены вниз. Уравнение имеет вид $y = -1,5(x - 2)^2 + 0$, вершина находится в точке $(2, 0)$.

Теперь сопоставим эти данные с графиками, двигаясь слева направо.

3. При каких значениях $a$ функция $y=(a-3)x^2+13$ имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция $y = (a - 3)x^2 + 13$ имеет нули, необходимо приравнять её к нулю и определить, при каких $a$ полученное уравнение будет иметь действительные решения относительно $x$.

Приравниваем функцию к нулю:

$(a - 3)x^2 + 13 = 0$

Для решения этого уравнения относительно $x$, выразим $x^2$:

$(a - 3)x^2 = -13$

Далее рассмотрим два возможных случая для коэффициента при $x^2$.

1. Если коэффициент $(a - 3)$ равен нулю, то есть $a = 3$.
Подставив это значение в уравнение, получаем: $0 \cdot x^2 = -13$, что упрощается до $0 = -13$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 3$ уравнение не имеет решений, и функция не имеет нулей.

2. Если коэффициент $(a - 3)$ не равен нулю, то есть $a \ne 3$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 3)$:

$x^2 = \frac{-13}{a-3}$

Уравнение имеет действительные корни только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, поскольку квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным. Таким образом, должно выполняться неравенство:

$\frac{-13}{a-3} \ge 0$

Числитель этой дроби, $-13$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была положительной (или равной нулю, что в данном случае невозможно, так как числитель не равен нулю), знаменатель $(a-3)$ также должен быть отрицательным. Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, получаем строгое неравенство:

$a - 3 < 0$

Решив это неравенство, находим:

$a < 3$

Таким образом, функция $y = (a - 3)x^2 + 13$ имеет нули при всех значениях $a$, меньших 3.

Ответ: $a < 3$

4. Найдите нули функции, если они существуют:

а) $y = 2x^2 - 32$;

б) $y = 2x^2 + 8$;

в) $y = -3x^2 + 27$.

......................

......................

Ответ: а) ................... б) ................... в) ...................

Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции (y) к нулю и решить полученное уравнение относительно x.

а) $y = 2x^2 - 32$

Приравниваем y к нулю:

$2x^2 - 32 = 0$

Добавим 32 к обеим частям уравнения:

$2x^2 = 32$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 16$

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Нули функции существуют и равны -4 и 4.

Ответ: -4; 4.

б) $y = 2x^2 + 8$

Приравниваем y к нулю:

$2x^2 + 8 = 0$

Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

$2x^2 = -8$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = -4$

Уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у данной функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

в) $y = -3x^2 + 27$

Приравниваем y к нулю:

$-3x^2 + 27 = 0$

Вычтем 27 из обеих частей уравнения:

$-3x^2 = -27$

Разделим обе части на -3:

$x^2 = 9$

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Нули функции существуют и равны -3 и 3.

Ответ: -3; 3.

1. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ($b_n$), в которой:

а) $b_1=3, q=2;$

б) $b_1=27, q=\frac{1}{3}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов.

В обоих случаях нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

а)

Дано: $b_1 = 3$, $q = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычисляем степень: $2^5 = 32$.

Теперь подставляем это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{3(32 - 1)}{1} = 3 \times 31 = 93$.

Ответ: $93$.

б)

Дано: $b_1 = 27$, $q = \frac{1}{3}$.

Поскольку знаменатель $q < 1$, удобнее использовать альтернативную формулу, чтобы избежать отрицательных чисел в числителе и знаменателе:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставляем наши значения:

$S_5 = \frac{27(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}}$

Вычисляем степень: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Выполняем вычитание в числителе и знаменателе:

$1 - (\frac{1}{3})^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{243}{243} - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставляем полученные дроби в основное выражение:

$S_5 = \frac{27 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Упростим числитель: $27 \cdot \frac{242}{243} = \frac{27 \cdot 242}{243}$. Так как $243 = 27 \cdot 9$, то $\frac{27 \cdot 242}{27 \cdot 9} = \frac{242}{9}$.

Получаем:

$S_5 = \frac{\frac{242}{9}}{\frac{2}{3}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S_5 = \frac{242}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{121 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{121}{3}$.

Ответ: $\frac{121}{3}$.

2. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии:

а) $2, 4, 8, \dots;$

б) $3, -6, 12, \dots$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии (при $q \neq 1$), а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

а)

Рассмотрим геометрическую прогрессию 2, 4, 8, ...

Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{4}{2} = 2$.

Требуется найти сумму первых семи членов, следовательно, $n = 7$.

Подставим найденные значения $b_1 = 2$, $q = 2$ и $n = 7$ в формулу суммы:

$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{2(2^7 - 1)}{2 - 1}$

Выполним вычисления:

$S_7 = \frac{2(128 - 1)}{1} = 2 \cdot 127 = 254$.

Ответ: 254.

б)

Рассмотрим геометрическую прогрессию 3, -6, 12, ...

Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{-6}{3} = -2$.

Требуется найти сумму первых семи членов, следовательно, $n = 7$.

Подставим найденные значения $b_1 = 3$, $q = -2$ и $n = 7$ в формулу суммы:

$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{3((-2)^7 - 1)}{-2 - 1}$

Выполним вычисления:

$S_7 = \frac{3(-128 - 1)}{-3} = \frac{3 \cdot (-129)}{-3} = \frac{-387}{-3} = 129$.

Ответ: 129.