Страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

14. Постройте график функции

$y = \begin{cases} x + 6, \text{ если } -10 \le x \le -2, \\ -\frac{x}{2}, \text{ если } -2 < x \le 0, \\ x^2, \text{ если } 0 < x \le 3, \\ -2x + 15, \text{ если } 3 < x < 9. \end{cases}$

$y = x + 6$

$y = -2x + 15$

$y = -\frac{x}{2}$

Закончите запись:

$D(y)=...................., E(y)=....................

$y = 0$ при $x=....................$, $y < 0$ при ...................., $y > 0$ при ....................

функция возрастает при ....................

функция убывает при ....................

Для построения графика кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x \in [-10; -2]$ строим график функции $y = x + 6$. Это отрезок прямой, ограниченный точками $(-10, -4)$ и $(-2, 4)$. Обе точки включены.

2. На промежутке $x \in (-2; 0]$ строим график функции $y = -\frac{x}{2}$. Это отрезок прямой. Точка $(-2, 1)$ не включена (на графике отмечается "выколотой" точкой), а точка $(0, 0)$ включена.

3. На промежутке $x \in (0; 3]$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы. Точка $(0, 0)$ не включена, но она совпадает с конечной точкой предыдущего интервала. Точка $(3, 9)$ включена.

4. На промежутке $x \in (3; 9]$ строим график функции $y = -2x + 15$. Это отрезок прямой. Точка $(3, 9)$ не включена, но она совпадает с конечной точкой предыдущего интервала. Точка $(9, -3)$ включена.

В результате получаем следующий график:

Заполним таблицы значений для линейных участков функции:

Закончите запись:

$D(y) = [-10; 9]$ , $E(y) = [-4; 9]$ ,

$y=0$ при $x \in \{-6; 0; 7,5\}$ , $y<0$ при $x \in [-10; -6) \cup (7,5; 9]$ , $y>0$ при $x \in (-6; 0) \cup (0; 7,5)$ ,

функция возрастает при $x \in [-10; -2]$ и $x \in [0; 3]$ ,

функция убывает при $x \in (-2; 0]$ и $x \in (3; 9]$ .

Ответ: График функции построен, таблицы заполнены, свойства функции определены выше.

12. В арифметической прогрессии $\frac{a_7}{a_3}=5$, а сумма первых семи членов равна 63. Найдите первый член и разность прогрессии.

Решение. Из равенства $\frac{a_7}{a_3}=5$ выразим $a_1$ через $d$:

По условию $S_7 = 63$, т. е.

Ответ:

Решение. Из равенства $\frac{a_7}{a_3} = 5$ выразим $a_1$ через $d$:

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Выразим седьмой и третий члены прогрессии:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство $\frac{a_7}{a_3} = 5$:

$\frac{a_1 + 6d}{a_1 + 2d} = 5$

Для решения этого уравнения умножим обе части на знаменатель $(a_1 + 2d)$, при условии, что $a_3 \neq 0$:

$a_1 + 6d = 5(a_1 + 2d)$

$a_1 + 6d = 5a_1 + 10d$

Сгруппируем слагаемые с $a_1$ в левой части, а с $d$ — в правой:

$a_1 - 5a_1 = 10d - 6d$

$-4a_1 = 4d$

Отсюда находим связь между $a_1$ и $d$:

$a_1 = -d$

По условию $S_7=63$, т. е.

Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу значения $n=7$ и $S_7=63$:

$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = 63$

$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 63$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(a_1 + 3d)}{2} \cdot 7 = 63$

$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 63$

Разделим обе части уравнения на 7:

$a_1 + 3d = 9$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a_1 = -d \\ a_1 + 3d = 9 \end{cases}$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(-d) + 3d = 9$

$2d = 9$

$d = \frac{9}{2} = 4.5$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$ из первого уравнения системы:

$a_1 = -d = -4.5$

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = -4.5$, разность прогрессии $d = 4.5$.

13. Решите уравнение $5+8+11+...+x=75$, если известно, что слагаемые в левой его части составляют арифметическую прогрессию.

В левой части уравнения представлена сумма членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму как $S_n$. По условию, $S_n = 75$.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$. Второй член $a_2 = 8$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3$.

Последний член прогрессии обозначен как $x$, то есть $a_n = x$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, мы можем выразить $x$ через количество членов $n$:

$x = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $S_n = 75$, $a_1 = 5$ и $a_n = x$ в эту формулу:

$75 = \frac{5 + x}{2} \cdot n$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $n$:

$\begin{cases} x = 3n + 2 \\ 75 = \frac{5+x}{2} \cdot n \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$75 = \frac{5 + (3n + 2)}{2} \cdot n$

$75 = \frac{7 + 3n}{2} \cdot n$

Умножим обе части уравнения на 2:

$150 = (7 + 3n) \cdot n$

$150 = 7n + 3n^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3n^2 + 7n - 150 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $n$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-150) = 49 + 1800 = 1849$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1849} = 43$.

Теперь найдем корни уравнения для $n$ по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-7 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$.

$n_2 = \frac{-7 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3}$.

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, нам подходит только корень $n = 6$.

Теперь, зная количество членов прогрессии ($n=6$), найдем значение $x$, которое является последним, шестым членом прогрессии ($a_6$):

$x = a_6 = a_1 + (n-1)d = 5 + (6-1) \cdot 3 = 5 + 5 \cdot 3 = 5 + 15 = 20$.

Ответ: $x=20$.

14. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.

Двузначные числа, кратные 7, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый член этой прогрессии, последний член и их количество.

1. Находим первый член прогрессии ($a_1$).
Двузначные числа — это числа в диапазоне от 10 до 99. Самое маленькое двузначное число, которое делится на 7, это 14. Таким образом, первый член нашей прогрессии $a_1 = 14$.

2. Находим последний член прогрессии ($a_n$).
Самое большое двузначное число — 99. Чтобы найти самое большое двузначное число, кратное 7, разделим 99 на 7: $99 \div 7 = 14$ (остаток 1). Это значит, что самое большое двузначное число, кратное 7, меньше 99 на 1, то есть $99 - 1 = 98$. Итак, последний член прогрессии $a_n = 98$.

3. Находим количество членов прогрессии ($n$).
Разность прогрессии $d$ равна 7, так как мы рассматриваем числа, кратные 7. Воспользуемся формулой для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы найти количество членов $n$.
Подставляем известные значения: $98 = 14 + (n-1) \cdot 7$
Вычитаем 14 из обеих частей: $98 - 14 = (n-1) \cdot 7$
$84 = (n-1) \cdot 7$
Делим обе части на 7: $n-1 = \frac{84}{7}$
$n-1 = 12$
$n = 13$
Следовательно, всего 13 двузначных чисел, кратных 7.

4. Вычисляем сумму прогрессии ($S_n$).
Теперь мы можем найти сумму этих чисел, используя формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставляем наши значения: $S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \cdot 13$
$S_{13} = \frac{112}{2} \cdot 13$
$S_{13} = 56 \cdot 13$
$S_{13} = 728$

Ответ: 728