Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Найдите нули функции (если они существуют):

а) $y = 15 - 2x$;

б) $y = 2x^2 - 98$;

в) $y = (4x - 2)(x + 1)$;

г) $y = \frac{5}{(x - 1)(x - 3)}$;

д) $y = \sqrt{x - 4}$;

е) $y = x^2 + 4$.

Ответ:

а) ...............

б) ...............

в) ...............

г) ...............

д) ...............

е) ...............

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции (y) к нулю и решить полученное уравнение относительно x.
$y = 15 - 2x$
$15 - 2x = 0$
$2x = 15$
$x = \frac{15}{2}$
$x = 7.5$
Ответ: 7,5.

б) Приравниваем функцию к нулю.
$y = 2x^2 - 98$
$2x^2 - 98 = 0$
$2x^2 = 98$
$x^2 = \frac{98}{2}$
$x^2 = 49$
$x = \pm\sqrt{49}$
$x_1 = 7, x_2 = -7$
Ответ: -7; 7.

в) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$y = (4x - 2)(x + 1)$
$(4x - 2)(x + 1) = 0$
$4x - 2 = 0$ или $x + 1 = 0$
Решаем первое уравнение:
$4x = 2$
$x_1 = \frac{2}{4} = 0.5$
Решаем второе уравнение:
$x_2 = -1$
Ответ: -1; 0,5.

г) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
$y = \frac{5}{(x-1)(x-3)}$
$\frac{5}{(x-1)(x-3)} = 0$
Числитель дроби равен 5, он никогда не равен нулю. Следовательно, функция не имеет нулей.
Ответ: нулей нет.

д) Приравниваем функцию к нулю.
$y = \sqrt{x-4}$
Область определения функции: $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
$\sqrt{x-4} = 0$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x - 4 = 0$
$x = 4$
Данное значение принадлежит области определения функции.
Ответ: 4.

е) Приравниваем функцию к нулю.
$y = x^2 + 4$
$x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нулей нет.

2. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

a) $f(x) = \frac{5x+2}{3}$;

б) $f(x) = -\frac{3}{x}$.

а) $f(x) = \frac{5x + 2}{3}$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, нужно определить интервалы, на которых функция положительна ($f(x) > 0$) и на которых она отрицательна ($f(x) < 0$). Для этого сначала находим нули функции (точки, в которых график функции пересекает ось Ox).

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$\frac{5x + 2}{3} = 0$

Умножим обе части на 3:

$5x + 2 = 0$

$5x = -2$

$x = -\frac{2}{5}$ или $x = -0.4$

Найденный нуль функции $x = -0.4$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; -0.4)$ и $(-0.4; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

Для интервала $(-0.4; +\infty)$ выберем пробную точку $x = 0$:

$f(0) = \frac{5 \cdot 0 + 2}{3} = \frac{2}{3}$.

Так как $f(0) > 0$, то на всем интервале $(-0.4; +\infty)$ функция положительна.

Для интервала $(-\infty; -0.4)$ выберем пробную точку $x = -1$:

$f(-1) = \frac{5 \cdot (-1) + 2}{3} = \frac{-5 + 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.

Так как $f(-1) < 0$, то на всем интервале $(-\infty; -0.4)$ функция отрицательна.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-0.4; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -0.4)$.

б) $f(x) = -\frac{3}{x}$

Для нахождения промежутков знакопостоянства этой функции определим её область определения, нули и точки разрыва.

1. Область определения. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Точка $x=0$ является точкой разрыва.

2. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-\frac{3}{x} = 0$

Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби, равный -3, не равен нулю. Следовательно, у функции нет нулей, и её график не пересекает ось Ox.

Знак функции может измениться только в точке разрыва $x = 0$. Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

Для интервала $(0; +\infty)$ выберем пробную точку $x = 1$:

$f(1) = -\frac{3}{1} = -3$.

Так как $f(1) < 0$, функция отрицательна на всем интервале $(0; +\infty)$.

Для интервала $(-\infty; 0)$ выберем пробную точку $x = -1$:

$f(-1) = -\frac{3}{-1} = 3$.

Так как $f(-1) > 0$, функция положительна на всем интервале $(-\infty; 0)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

3. Начертите график какой-либо функции с областью определения $ [-6; 5] $, нулями которой служат числа $ -4 $, $ 2 $ и $ 4 $.

Для решения этой задачи нужно построить график функции, который удовлетворяет заданным условиям. Разберем эти условия и построим один из возможных вариантов графика.

Анализ условий задачи

Функция $y=f(x)$ должна соответствовать двум основным требованиям:

• Область определения функции — отрезок $[-6; 5]$. Это означает, что график функции должен существовать только для значений $x$ от $-6$ до $5$ включительно. На графике точки, соответствующие концам области определения (при $x=-6$ и $x=5$), должны быть закрашены, показывая, что они принадлежат графику.
• Нули функции — числа $-4, 2$ и $4$. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки, в которых график пересекает или касается оси абсцисс ($Ox$). Таким образом, график нашей функции должен проходить через точки с координатами $(-4, 0)$, $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Условие "какой-либо функции" говорит о том, что существует бесконечно много графиков, удовлетворяющих этим требованиям. Мы можем построить любой из них, например, соединив ключевые точки отрезками прямых (кусочно-линейная функция) или плавной кривой.

Построение графика

Создадим один из возможных графиков, выполнив следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости нули функции: точки $(-4, 0)$, $(2, 0)$ и $(4, 0)$.
2. Выберем произвольные координаты $y$ для конечных точек графика на границах области определения. Пусть на левой границе ($x=-6$) значение функции будет $y=2$, получим точку $(-6, 2)$. На правой границе ($x=5$) пусть будет $y=3$, получим точку $(5, 3)$.
3. Для большей наглядности определим несколько промежуточных точек (например, локальные экстремумы) между нулями. Пусть между $x=-4$ и $x=2$ будет локальный минимум в точке $(-1, -3)$. А между $x=2$ и $x=4$ — локальный максимум в точке $(3, 1)$.
4. Теперь последовательно соединим все отмеченные точки плавной кривой, начиная с $(-6, 2)$ и заканчивая $(5, 3)$.

Полученный график будет соответствовать всем условиям задачи.

Ниже представлен один из возможных вариантов такого графика.

Ответ: График, построенный выше, является одним из возможных решений. Он определен на отрезке $[-6; 5]$, что показано закрашенными точками на концах. График пересекает ось абсцисс в точках $x=-4, x=2$ и $x=4$, что соответствует нулям функции.

14. Сумма трёх последовательных членов арифметической прогрессии равна 42, а сумма их квадратов равна 638. Найдите эти члены прогрессии.

Решение. Обозначим через $a$ среднее из этих трёх чисел, а через $d$ разность прогрессии.

Решение.

Обозначим средний из трёх последовательных членов арифметической прогрессии через $a$, а разность прогрессии через $d$. Тогда эти три члена можно записать как $(a-d)$, $a$, и $(a+d)$.

По условию, сумма этих трёх членов равна 42. Составим первое уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 42$
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
$3a = 42$
Отсюда находим значение среднего члена:
$a = \frac{42}{3} = 14$

Также по условию, сумма их квадратов равна 638. Составим второе уравнение:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 638$
Подставим найденное значение $a = 14$ в это уравнение:
$(14 - d)^2 + 14^2 + (14 + d)^2 = 638$
Раскроем квадраты:
$(196 - 28d + d^2) + 196 + (196 + 28d + d^2) = 638$
Упростим выражение. Члены $-28d$ и $+28d$ взаимно уничтожаются:
$196 + 196 + 196 + 2d^2 = 638$
$588 + 2d^2 = 638$
$2d^2 = 638 - 588$
$2d^2 = 50$
$d^2 = 25$
Следовательно, разность прогрессии $d$ может принимать два значения: $d = 5$ или $d = -5$.

Теперь найдем сами члены прогрессии для каждого из случаев.
1. Если $d = 5$, то члены прогрессии:
$a - d = 14 - 5 = 9$
$a = 14$
$a + d = 14 + 5 = 19$
Получаем числа: 9, 14, 19.

2. Если $d = -5$, то члены прогрессии:
$a - d = 14 - (-5) = 19$
$a = 14$
$a + d = 14 + (-5) = 9$
Получаем числа: 19, 14, 9.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.
Проверка:
Сумма: $9 + 14 + 19 = 42$.
Сумма квадратов: $9^2 + 14^2 + 19^2 = 81 + 196 + 361 = 638$.
Оба условия выполнены.

Ответ: 9, 14, 19.

15. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 231 $см^3$. Найдите длины рёбер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, зная, что они составляют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 21 $см$.

Решение.

Решение.
Пусть длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$. Эти рёбра являются измерениями параллелепипеда (длина, ширина, высота).

По условию задачи, объём параллелепипеда равен 231 см³. Формула объёма:
$V = a \cdot b \cdot c$
Следовательно, $a \cdot b \cdot c = 231$.

Также известно, что длины рёбер $a$, $b$ и $c$ составляют арифметическую прогрессию. Удобно представить члены арифметической прогрессии в виде $x - d$, $x$, $x + d$, где $x$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.
Пусть $a = x - d$, $b = x$, $c = x + d$.

По условию, сумма этих длин равна 21 см:
$a + b + c = (x - d) + x + (x + d) = 21$
$3x = 21$
$x = \frac{21}{3} = 7$
Таким образом, мы нашли средний член прогрессии, который является длиной одного из рёбер: $b = 7$ см.

Теперь подставим найденное значение $x=7$ и выражения для $a$ и $c$ в формулу объёма:
$(7 - d) \cdot 7 \cdot (7 + d) = 231$
Разделим обе части уравнения на 7:
$(7 - d)(7 + d) = \frac{231}{7}$
$(7 - d)(7 + d) = 33$
Воспользуемся формулой разности квадратов $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$:
$7^2 - d^2 = 33$
$49 - d^2 = 33$
$d^2 = 49 - 33$
$d^2 = 16$
$d = \sqrt{16} = 4$ (Так как длины рёбер — положительные числа, мы можем взять положительное значение для $d$. Выбор $d = -4$ просто поменяет местами первое и третье ребро).

Теперь найдём длины рёбер:
$a = x - d = 7 - 4 = 3$ см
$b = x = 7$ см
$c = x + d = 7 + 4 = 11$ см

Проверим:
Сумма длин: $3 + 7 + 11 = 21$ см.
Объём: $3 \cdot 7 \cdot 11 = 21 \cdot 11 = 231$ см³.
Условия задачи выполнены.

Ответ: длины рёбер параллелепипеда равны 3 см, 7 см и 11 см.