Страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

10. Докажите, что:

а) сумма двух нечётных функций является нечётной функцией;

б) произведение двух нечётных функций является чётной функцией;

в) произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Решение. а) Пусть $y = f(x)$ и $y = g(x)$ — нечётные функции. Тогда:

1) $D(f)$ и $D(g)$ — множества, симметричные относительно $x = 0$, и $D(f + g) = D(f) \cap D(g)$ — множество, симметричное относительно $x = 0$.

2) Так как функции нечётные, то $f(-x) = -f(x)$, $g(-x) = -g(x)$, найдём $(f + g)(-x)$.

а) сумма двух нечётных функций является нечётной функцией

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. По определению нечётной функции, их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля, и для любого $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Рассмотрим их сумму $h(x) = f(x) + g(x)$. Область определения функции $h(x)$ есть $D(h) = D(f) \cap D(g)$. Так как области $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля, их пересечение $D(h)$ также будет симметричным.

Проверим выполнение условия нечётности для функции $h(x)$. Для этого найдём значение $h(-x)$:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Используя свойство нечётности для функций $f(x)$ и $g(x)$, получаем:

$h(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -h(x)$

Поскольку для любого $x$ из $D(h)$ выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$, то по определению функция $h(x)$ является нечётной.

Ответ: Сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.

б) произведение двух нечётных функций является чётной функцией

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Это означает, что $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$, а их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля.

Рассмотрим их произведение $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Область определения $D(p) = D(f) \cap D(g)$ также симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия чётности для функции $p(x)$. Найдём значение $p(-x)$:

$p(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$

Подставляя свойства нечётных функций, получаем:

$p(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = p(x)$

Поскольку для любого $x$ из $D(p)$ выполняется равенство $p(-x) = p(x)$, то по определению функция $p(x)$ является чётной.

Ответ: Произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

в) произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией

Пусть дана чётная функция $f(x)$ и нечётная функция $g(x)$. По определениям, их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля, и для любого $x$ из соответствующей области определения выполняются равенства:

$f(-x) = f(x)$ (для чётной функции)

$g(-x) = -g(x)$ (для нечётной функции)

Рассмотрим их произведение $q(x) = f(x) \cdot g(x)$. Область определения $D(q) = D(f) \cap D(g)$ также симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия нечётности для функции $q(x)$. Найдём значение $q(-x)$:

$q(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$

Подставляя свойства чётной и нечётной функций, получаем:

$q(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -(f(x) \cdot g(x)) = -q(x)$

Поскольку для любого $x$ из $D(q)$ выполняется равенство $q(-x) = -q(x)$, то по определению функция $q(x)$ является нечётной.

Ответ: Произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

8. Между числами 3 и 15 вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.

...........

$a_n = a_1 + d(n-1)$

...........

...........

...........

...........

По условию, нам нужно вставить пять чисел между 3 и 15 так, чтобы все семь чисел образовали арифметическую прогрессию. Обозначим эту прогрессию как $(a_n)$. Тогда первый член прогрессии $a_1 = 3$. Поскольку мы вставляем пять чисел, общее количество членов в прогрессии будет $2 + 5 = 7$. Следовательно, число 15 является седьмым членом прогрессии: $a_7 = 15$.

Для нахождения промежуточных членов необходимо определить разность арифметической прогрессии $d$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1=3$, $a_7=15$ и $n=7$ в формулу:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$15 = 3 + 6d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$6d = 15 - 3$

$6d = 12$

$d = \frac{12}{6}$

$d = 2$

Разность арифметической прогрессии равна 2. Теперь мы можем последовательно найти пять искомых чисел, которые являются членами прогрессии со второго по шестой:

$a_2 = a_1 + d = 3 + 2 = 5$

$a_3 = a_2 + d = 5 + 2 = 7$

$a_4 = a_3 + d = 7 + 2 = 9$

$a_5 = a_4 + d = 9 + 2 = 11$

$a_6 = a_5 + d = 11 + 2 = 13$

Проверим, что следующий член $a_7 = a_6 + d = 13 + 2 = 15$, что соответствует условию задачи.

Таким образом, пять чисел, которые нужно вставить между 3 и 15, это 5, 7, 9, 11 и 13.

Ответ: 5, 7, 9, 11, 13.

9. В арифметической прогрессии сумма второго и четвёртого членов равна 46, а сумма третьего и седьмого членов равна 58. Найдите третий член и разность прогрессии.

Ответ: $a_3 = \dots$, $d = \dots$

Пусть $a_n$ — n-ый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

Найдем третий член прогрессии $a_3$.

Согласно условию, сумма второго и четвёртого членов равна 46:
$a_2 + a_4 = 46$

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии, согласно которому каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим равноотстоящих от него членов. В данном случае, третий член $a_3$ является средним арифметическим для $a_2$ и $a_4$:
$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}$

Подставим известное значение суммы $a_2 + a_4 = 46$ в эту формулу:
$a_3 = \frac{46}{2} = 23$

Найдем разность прогрессии $d$.

Теперь используем второе условие: сумма третьего и седьмого членов равна 58.
$a_3 + a_7 = 58$

Мы уже определили, что $a_3 = 23$. Подставим это значение в уравнение:
$23 + a_7 = 58$
Отсюда находим седьмой член:
$a_7 = 58 - 23 = 35$

Связь между любыми двумя членами арифметической прогрессии $a_n$ и $a_k$ выражается формулой $a_n = a_k + (n-k)d$. Используем эту формулу для $a_7$ и $a_3$:
$a_7 = a_3 + (7-3)d$

Подставим известные значения $a_7 = 35$ и $a_3 = 23$:
$35 = 23 + 4d$

Решим полученное уравнение относительно $d$:
$4d = 35 - 23$
$4d = 12$
$d = \frac{12}{4}$
$d = 3$

Ответ: $a_3 = 23$, $d = 3$.

10. Найдите пропущенные в записи члены арифметической про-грессии ($a_n$):

..., ..., 8, ..., ..., ..., 38.

Решение. Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии,

$d$ — её разность. По условию

Составим и решим систему уравнений:

......................

......................

......................

......................

Ответ: ...................., 8, ...................., ...................., 38.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии ($a_n$), а $d$ — её разность. По условию дана последовательность: `..., ..., 8, ..., ..., ..., 38`.

Определим номера известных членов. Если считать, что последовательность начинается с первого члена, то она имеет вид: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$. Из этого следует, что третий член прогрессии $a_3 = 8$, а седьмой член $a_7 = 38$.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} a_3 = a_1 + (3-1)d \\ a_7 = a_1 + (7-1)d \end{cases} $

Подставим известные значения $a_3=8$ и $a_7=38$:

$ \begin{cases} 8 = a_1 + 2d \\ 38 = a_1 + 6d \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 38 - 8$

$4d = 30$

$d = \frac{30}{4} = 7.5$

Теперь, зная разность $d=7.5$, найдем первый член $a_1$. Подставим значение $d$ в первое уравнение системы:

$8 = a_1 + 2 \cdot 7.5$

$8 = a_1 + 15$

$a_1 = 8 - 15 = -7$

Теперь, зная первый член $a_1 = -7$ и разность $d = 7.5$, мы можем найти все пропущенные члены прогрессии:

• $a_1 = -7$
• $a_2 = a_1 + d = -7 + 7.5 = 0.5$
• $a_3 = a_2 + d = 0.5 + 7.5 = 8$ (соответствует условию)
• $a_4 = a_3 + d = 8 + 7.5 = 15.5$
• $a_5 = a_4 + d = 15.5 + 7.5 = 23$
• $a_6 = a_5 + d = 23 + 7.5 = 30.5$
• $a_7 = a_6 + d = 30.5 + 7.5 = 38$ (соответствует условию)

Таким образом, полная последовательность членов арифметической прогрессии такова: -7; 0.5; 8; 15.5; 23; 30.5; 38.

Ответ: -7, 0.5, 8, 15.5, 23, 30.5, 38.